Equações trigonométricas I

por Orihara Ter 29 Set 2015, 16:01

Se sen α = 2/3, (π/2) < α < π, calcule cos(x + (π/4)).

Observação: π = pi

Gabarito:

por **Carlos Adir** Ter 29 Set 2015, 21:00

Não compreendo a relação do alpha com a questão. Ao meu ver a questão:
cos(x+(pi/4)) . pi = pi
Implica que x = -pi/4 ou x = 7pi/4

por Orihara Ter 29 Set 2015, 21:09

Carlos, uma falha minha que não percebi depois da formatação. Não é a função do cosseno "vezes" pi. Aquilo era só pra sinalizar que aquele símbolo ali significa pi.

Editei já.

por **Carlos Adir** Ter 29 Set 2015, 21:13

Ah sim. Então creio que x = alpha kk
Como sen x = 2/3 e (pi/2) < x < pi, então está no segundo quadrante e cosseno é negativo.
Pela relação fundamental:
cos²x + sen²x = 1
Descobrimos que cos x = -(√5)/3

Então, agora vamos calcular a expressão:
cos (x + (pi/4)) = cos x . cos (pi/4) - sen x . sen (pi/4)=
= (-√5/3).(√2/2) - (2/3) . (√2/2) = (√2/6) . [-2 - √5]=
= -(√2/6) . (2+√5)

por Orihara Ter 29 Set 2015, 21:17

Vou crer nisso também! Razz

Estou deveras decepcionado com a quantidade de erros grotescos na gramática, formatação, montagem de questões (como esta por exemplo) além de diversos erros no gabarito (isso em praticamente todos os livros da coleção Noções de Matemática).

Obrigado mais uma vez.

por **Carlos Adir** Ter 29 Set 2015, 21:19

Eu imediatamente estranhei o gabarito sem parênteses.
Cosseno sempre varia de -1 até 1. A expressão tem +2, ou seja, a parte negativa deveria ser menor que -1 para compensar, o que não ocorre.

por Orihara Qua 30 Set 2015, 14:21

Carlos, fui passar os cálculos para o papel e acabei travando no cálculo da expressão.

Você poderia detalhar mais os passos realizados? Acho que estou me perdendo em alguma propriedade.

por **Carlos Adir** Qua 30 Set 2015, 20:20

Tem no tópico abaixo que mostra:
Demonstrações de identidades trigonométricas
$\mathrm{cos \ a+b = cos a \cdot cos \ b - sen \ a \cdot sen \ b}$
Aí então:
$\\ \mathrm{cos \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = cos \ x \cdot cos \dfrac{\pi}{4} - sen \ x \cdot sen \dfrac{\pi}{4}=} \\ \mathrm{=\left(\dfrac{-\sqrt{5}}{3} \right ) \cdot \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) - \left(\dfrac{2}{3} \right )\cdot \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )=} \\ \mathrm{\dfrac{-\sqrt{2}}{6} \left(2+\sqrt{5} \right )}$

Creio que assim está melhor de enxergar. Não mudei a ordem, então é só manipulação. Se ainda estiver confuso retorne.

por Orihara Qua 30 Set 2015, 20:25

As identidades eu já conheço.

O meu problema está ali na subtração que envolve a multiplicação das raízes (segunda linha a partir do "aí então:").

por **Carlos Adir** Qua 30 Set 2015, 20:33

$\\ \mathrm{\left(\dfrac{-\sqrt{5}}{3} \right ) \cdot \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) - \left(\dfrac{2}{3} \right )\cdot \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )=} \\ \mathrm{= \dfrac{(-\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{2})}{3 \cdot 2} - \dfrac{(2)(\sqrt{2})}{3 \cdot 2}=} \\ \mathrm{ = \dfrac{- \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{6}-\dfrac{2\sqrt{2}}{6}=\dfrac{-\sqrt{5} \cdot {\color{Red} \sqrt{2}} - 2{\color{Red} \sqrt{2}}}{6}=} \\ \mathrm{=\dfrac{{\color{Red} \sqrt{2}}\left({\color{Blue} -}\sqrt{5} {\color{Blue} -} 2 \right )}{6}=\dfrac{{\color{Blue} -}\sqrt{2}(\sqrt{5}+2)}{6}}$
Resolveu?Talvez você esteja achando raiz de 10, que também pode ser:
$\\ \mathrm{ = \dfrac{- \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{6}-\dfrac{2\sqrt{2}}{6}=\dfrac{-\sqrt{10} - 2 \sqrt{2}}{6}=} \\ \mathrm{=\dfrac{- \left(\sqrt{10}+2\sqrt{2} \right )}{6}}$