equações trigonometricas

por martinfierro76 Qui 23 Jan 2014, 20:49

cos4x=cosx

resposta:
equações trigonometricas EIN3hGJwVATpBYFXQcMK6aaLl1hRFRQk6UTxbFWCgjhJs7k4u5tnRFXSCSxFKjZ5BbkFRfagbXq1f0Qf+h99ACSqQaOGmQAAAABJRU5ErkJggg==

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por Wilson Calvin Qui 23 Jan 2014, 21:05

cos4x = cosx <=> cos4x - cosx ; usando Prostaférese.

cos4x - cosx = -2sen[(4x + x)/2].sen[(4x - x)/2) = 0

logo: sen[(4x + x)/2] = 0 ou sen[(4x - x)/2) = 0 =>
5x/2 = kPi <=> x = 2kPi/5 ou 3x/2 = kPi => x = 2kPi/3
com k e Z;

por **Euclides** Qui 23 Jan 2014, 21:16

Um recurso sem a prostaférese:

$\\4x=a+b\\x=a-b\\\\a=\frac{5x}{2}\;\;\;\;b=\frac{3x}{2}\\\\ {\color{Red} \cos(a).\cos(b)}-\sin(a)\sin(b)={\color{Red} \cos(a).\cos(b)}+\sin(a)\sin(b)\\2\sin(a)\sin(b)=0\\\\\begin{cases}\sin(a)=0\;\to\;\frac{5x}{2}=0+k\pi\\\sin(b)=0\;\to\;\frac{3x}{2}=0+k\pi \end{cases}$

$x=\frac{2k\pi}{5}\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{2kpi}{3}$

por **JOAO [ITA]** Qui 23 Jan 2014, 21:28

Uma 3ª opção:

Considerando a equação genérica cos(a) = cos(b), vem, por observação direta do ciclo trigonométrico, que:
a = b + 2.k.pi ou a = -b + 2.k.pi , com 'k' ∈ ℤ.

Para a equação em questão:
cos(4x) = cos(x) => 4.x = x + 2.k.pi ou 4.x = -x + 2.k.pi <=>
<=> x = (2.k.pi)/3 ou x = (2.k.pi)/5.