Equações trigonométricas III

Determinar X tal qui sen3x + cos2x - senX = 1

jaques104 escreveu:Determinar X tal qui sen3x + cos2x - senX = 1

Boa tarde, Jaques.

sen (3x) = sen (2x+x)

Lembrando que sen(x+x) = senx.cosx+senx.cosx , vem:

sen(2x+x)= sen2xcosx+senxcos2x

Sabendo que

sen2x = 2senxcosx
cos 2x = 1-2sen²x

então:

sen(2x+x)= 2senxcosxcosx+senx(1-2sen²x)

sen (3x) = 2senxcos²x + senx - 2sen³x
==========================

Resolvendo, agora, a equação proposta, fica:
sen(3x) + cos(2x) - sen(x) = 1

(2.senx.cos²x + senx - 2.sen³x) + (1 - 2.sen²x) - senx = 1

2.senx.cos²x + senx - 2.sen³x + 1 - 2.sen²x - senx = 1

2.senx.cos²x - 2.sen³x - 2.sen²x = 0

Dividindo tudo por 2, fica:
senx.cos²x - sen³x - sen²x = 0

Colocando, a seguir, senx em evidência, vem:
senx(cos²x - sen²x - senx) = 0

Para que a equação supra seja igual a zero, basta que qualquer dos seus fatores o seja; portanto:
senx=0 → sen'x = 0
cos²x - sen²x - senx = 0 → substituímos cos²x por 1-sen²x:
1-sen²x - sen²x - senx = 0 → obtendo a seguinte equação de 2º grau:
2.sen²x + senx - 1 = 0 → que, resolvida por Bhaskara, nos fornece:
sen"x = 1/2
sen'"x = -1

Concluindo, chegamos a 3 possíveis soluções:
Senx ={0, 1/2, -1}

Donde, para 2∏ radianos, temos:
x = 0°, 30°, 150° ou 270°



Um abraço.

ivomilton escreveu:

jaques104 escreveu:Determinar X tal qui sen3x + cos2x - senX = 1

Boa tarde, Jaques.

sen (3x) = sen (2x+x)

Lembrando que sen(x+x) = senx.cosx+senx.cosx , vem:

sen(2x+x)= sen2xcosx+senxcos2x

Sabendo que

sen2x = 2senxcosx
cos 2x = 1-2sen²x

então:

sen(2x+x)= 2senxcosxcosx+senx(1-2sen²x)

sen (3x) = 2senxcos²x + senx - 2sen³x
==========================

Resolvendo, agora, a equação proposta, fica:
sen(3x) + cos(2x) - sen(x) = 1

(2.senx.cos²x + senx - 2.sen³x) + (1 - 2.sen²x) - senx = 1

2.senx.cos²x + senx - 2.sen³x + 1 - 2.sen²x - senx = 1

2.senx.cos²x - 2.sen³x - 2.sen²x = 0

Dividindo tudo por 2, fica:
senx.cos²x - sen³x - sen²x = 0

Colocando, a seguir, senx em evidência, vem:
senx(cos²x - sen²x - senx) = 0

Para que a equação supra seja igual a zero, basta que qualquer dos seus fatores o seja; portanto:
senx=0 → sen'x = 0
cos²x - sen²x - senx = 0 → substituímos cos²x por 1-sen²x:
1-sen²x - sen²x - senx = 0 → obtendo a seguinte equação de 2º grau:
2.sen²x + senx - 1 = 0 → que, resolvida por Bhaskara, nos fornece:
sen"x = 1/2
sen'"x = -1

Concluindo, chegamos a 3 possíveis soluções:
Senx ={0, 1/2, -1}

Donde, para 2∏ radianos, temos:
x = 0°, 30° ou 270°



Um abraço.

Poxa ivomilto, muito bem explicado, obrigado cara! Abraço.

só  completando,

para 2pi radianos, temos também 150º.

Medeiros escreveu:só  completando,

para 2pi radianos, temos também 150º.

Bom dia, Medeiros.

Obrigado pela complementação.
Trigonometria não é meu forte, mas tenho procurado trabalhar um pouco nessa área...




Um abraço.