Cubo Inscrito na esfera

por jpaulo95 Sex 25 Set 2015, 23:45

Um cubo está inscrito em uma esfera de 288 π cm² de área de superfície. Calcule a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo.

Resposta= ∏√3/2

por Convidado Sáb 26 Set 2015, 07:45

O volume da esfera em função da área:

$\\V_e=S\times \frac{r}{3}\;\to\;\frac{288 r}{3}$

A diagonal interna do cubo é igual ao diâmetro da esfera:

$\\a\sqrt{3}=2r\;\to\;a=\frac{2r}{\sqrt{3}}\;\;\to\;\;V_c=a^3=\frac{8r^3}{3\sqrt{3}}$

$\\\frac{V_e}{V_c}=\frac{36\sqrt{3}}{r^2}\;\;\;mas\;\;\;288=4\pi r^2\;\to\;r^2=\frac{72}{\pi}\\\\\frac{V_e}{V_c}=\frac{36\sqrt{3}\pi}{72} \;\Rightarrow \;\boxed{\frac{V_e}{V_c}=\frac{\pi\sqrt{3}}{2}}$

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