Soma dos ângulos internos de um polígono

por **Adam Zunoeta** Ter 02 Nov 2010, 01:46

O ângulo $A\widehat {D}C$ de um polígono regular ABCDEF... mede $30^\circ$ . Determine a soma dos ângulos internos desse polígono.
Resposta:
$1800^\circ$
Acho que é isso:
Soma dos ângulos internos de um polígono Figura

Soma dos ângulos internos de um polígono Figura

${a}_{e}=\frac{360^\circ}{n}$

$n=\frac {360^\circ}{30^\circ}$

$n=12$

${S}_{i}=(n-2).180^\circ$

Então:

${S}_{i}=1800^\circ$

Caso não seja, favor comentar.

por DouglasM Ter 02 Nov 2010, 10:26

Olá Balanar. Apesar da sua resposta estar correta, o método de resolução não está. O correto seria considerar que o ângulo de 30º, originado a partir de um ponto da circunferência vale 60º a partir do centro, e que engloba 2 lados do polígono. Por conta desse fato é que temos 12 lados. Note que você dividiu 360º por 30º e encontrou 12, mas isso foi coincidência. Isso ocorreu porque o ângulo a ser usado é o dobro de 30º e você tem 2 lados englobados por ele, essa proporção foi o que te deu a resposta correta, apesar do método. Se fossem 3 lados ao invés de 2, por exemplo, você continuaria encontrando 12 lados, apesar de serem 18.

por **Adam Zunoeta** Ter 02 Nov 2010, 11:57

DouglasM escreveu:Olá Balanar. Apesar da sua resposta estar correta, o método de resolução não está. O correto seria considerar que o ângulo de 30º, originado a partir de um ponto da circunferência vale 60º a partir do centro, e que engloba 2 lados do polígono. Por conta desse fato é que temos 12 lados. Note que você dividiu 360º por 30º e encontrou 12, mas isso foi coincidência. Isso ocorreu porque o ângulo a ser usado é o dobro de 30º e você tem 2 lados englobados por ele, essa proporção foi o que te deu a resposta correta, apesar do método. Se fossem 3 lados ao invés de 2, por exemplo, você continuaria encontrando 12 lados, apesar de serem 18.

Soma dos ângulos internos de um polígono Figurak

Tem um quadrilátero na figura então:
$30^\circ+30^\circ+2{a}_{i}=360\rightarrow {a}_{i}=15^\circ$

${a}_{i}+{a}_{e}=180^\circ\rightarrow {a}_{e}=30^\circ$

Como

${a}_{e}=\frac{360^\circ}{n}$

$n=\frac {360^\circ}{30^\circ}$

$n=12$

${S}_{i}=(n-2).180^\circ$

Então:

${S}_{i}=1800^\circ$

Poderia ser feito assim?

por DouglasM Ter 02 Nov 2010, 12:49

Nesse caso o raciocínio foi correto, mas note que de modo geral é mais fácil fazer como disse antes (e como fiz em outro problema), porque nem sempre terá um arranjo conveniente como o de agora (ao invés de um trapézio poderá ter um pentágono, ou um polígono de mais lados).

por **Adam Zunoeta** Ter 02 Nov 2010, 12:52

Você poderia fazer uma figura pra melhor visualizar sua resposta.
Estou tendo dificuldade para ver a figura que você fez.

por DouglasM Ter 02 Nov 2010, 13:08

Eu fiz algo como o que você fez primeiro, só acrescentando o ângulo de 60º que me fez descobrir que cada lado está inscrito num arco de 30º. A figura de fato é assim (depois de descobrirmos que tem 12 lados):

Soma dos ângulos internos de um polígono Decgono4

Soma dos ângulos internos de um polígono Decgono4

por **Adam Zunoeta** Ter 02 Nov 2010, 13:39

DouglasM escreveu:Eu fiz algo como o que você fez primeiro, só acrescentando o ângulo de 60º que me fez descobrir que cada lado está inscrito num arco de 30º. A figura de fato é assim (depois de descobrirmos que tem 12 lados):

Eu acho que você achou os 12 lados da seguinte forma:
Como temos três lados "AB", "BC" e "CD" num quarto de uma circunferência, então em uma circunferência completa teremos 4 vezes esse valor ou seja 12 lados.
O ângulo de 60 graus decorre de ser o complementar de 30 graus.
Foi assim que você fez?
Uma outra pergunta como você sabe que só tem 3 lados num quarto de circunferência?

por DouglasM Ter 02 Nov 2010, 14:41

Não, não foi assim. Foi como disse no primeiro post:

DouglasM escreveu:O correto seria considerar que o ângulo de 30º, originado a partir de um ponto da circunferência vale 60º a partir do centro, e que engloba 2 lados do polígono. Por conta desse fato é que temos 12 lados.

60º -> 2 lados

360º -> 12 lados

Só isso. O fato dos ângulos serem complementares é coincidência. O que importa é que um arco medido a partir de um ponto da circunferência descreve um ângulo que é metade do ângulo descrito se o medirmos a partir do centro.

Sobre o desenho, eu mesmo disse, o fiz demonstrando como é de fato a figura, depois de já ter descoberto quantos lados possuia.

por **Adam Zunoeta** Ter 02 Nov 2010, 14:49

DouglasM escreveu:Não, não foi assim. Foi como disse no primeiro post:

DouglasM escreveu:O correto seria considerar que o ângulo de 30º, originado a partir de um ponto da circunferência vale 60º a partir do centro, e que engloba 2 lados do polígono. Por conta desse fato é que temos 12 lados.

60º -> 2 lados

360º -> 12 lados

Só isso. O fato dos ângulos serem complementares é coincidência. O que importa é que um arco medido a partir de um ponto da circunferência descreve um ângulo que é metade do ângulo descrito se o medirmos a partir do centro.

Sobre o desenho, eu mesmo disse, o fiz demonstrando como é de fato a figura, depois de já ter descoberto quantos lados possuia.

Obrigado, entendi agora.
Very Happy