Razão angulos internos polígono

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Razão angulos internos polígono

Mensagem por dani1801 em Sab Jul 23 2016, 01:19

A razão entre as medidas dos ângulos internos de dois polígonos regulares é 3/2. Quantos pares de polígonos existem nessas condições?

dani1801
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Re: Razão angulos internos polígono

Mensagem por Matemathiago em Sab Jul 23 2016, 22:54

A medida de um ângulo interno de um polígono regular de n lados pode ser expressa como 180.(n-2)/n.

Sendo um polígono de n lados e outro com k lados de forma a satisfazer o enunciado:
3. 180.(n-2)/n = 2. 180. (k-2)/k
(3n - 6)/n = (2k - 4)/k
Multiplicando cruzado:
3kn - 6k = 2kn - 4n
kn = 6k - 4n
Dividindo todos os membros por kn:
1 = 6/n - 4/k
Lembrando que k e n representam a quantidade de lados de um polígono regular. Devem portanto ser maiores do que 2 e inteiros obviamente.
n deve ser menor do que 6, pois em caso contrário, não resultará em 1 de modo algum quando subtraído de um número positivo.

Portanto, quando n= 3, k= 4 (OK)
Quando n= 4, k= 8 (OK)
Quando n= 5, k= 20 (OK)

Temos portanto 3 soluções que satisfazem as condicoes expostas no enunciado
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