Soma dos Ângulos internos de um Polígono

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Soma dos Ângulos internos de um Polígono

Mensagem por PedroSantos em Dom Dez 24 2017, 02:52

As bissetrizes dos ângulos internos  e Ê de um polígono regular ABCDEFG... são perpendiculares. Qual a soma dos ângulos internos desse polígono?

PedroSantos
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Re: Soma dos Ângulos internos de um Polígono

Mensagem por Elcioschin em Dom Dez 24 2017, 09:01

Desenhe uma circunferência de centro O e marque os vértices A, B, C, D, E, F .......... N, sendo:

A no ponto superior da circunferência, E no ponto mais à direita, B, C, D igualmente distribuídos entre A e E, F um pouco abaixo e à esquerda de E e N um pouco abaixo e à esquerda de A.

Trace ON, OA, OB, OC, OD, OE, OE, OF
NÂB = A^BC = B^CD = CÊD = DÊF = Ai (ângulo interno)
Note que OA é a bissetriz do ângulo A (OÂN = OÂB = Ai/2) e OE é bissetriz do ângulo E (OÊD = OÊF = Ai/2)
OA é perpendicular a OE.


AÔB = BÔC = CÔD = DÔE = Ac ---> Ac = 360º/n (Ac = ângulo central que corresponde um lado do polígono)

AÔB + BÔC + CÔD + DÔE = AÔE ---> Ac + Ac + Ac + Ac = 90º ---> 4.Ac = 90º ---> 4.(360º/n) = 90º ---> n = 16

No triângulo OAB ---> OÂB + O^BA + AÔB = 180º ---> Ai/2 + Ai/2 + Ac = 180º ---> Ai + 360º/n = 180º ---> Ai = 180º - 360º/n

S = n.Ai ---> S = n.(180º - 360º/n) ---> S = 180º.n - 360º ---> S = 180º.16 - 360º ---> S = 2 520º
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