Todos os ângulos internos de um polígono...

Todos os ângulos internos de um polígono convexo têm medidas iguais, exceto um deles, que é menor em 40º. Sendo ímpar o número de lados desse polígono, determine o seu número de diagonais. Resposta: 5

Questão linda !!!

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo pode ser dada por:

SI=180.(n-2)

A soma também pode ser dada como:

SI=n.x-40 (onde x é a medida de um ângulo interno)

Logo:

180.(n-2)=n.x-40 => 180n-360=nx-40 => n=320/180-x

Como "n" deve ser ímpar e inteiro, vamos achar todos os divisores de 320:

D(320)={1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 160 e 320}

Perceba que o único divisor ímpar de 320 é o 5:

Logo, o único valor possível para n é 5, pois 5 é o único divisor ímpar de 320, então:

180-x=64, pois 64.5=320 => x=116º

Teremos 4 ângulos de 116° e 1 ângulo de 76º.

Se n=320/64 => n=5, o número de diagonais será:

d=n(n-3)/2 => d=5(5-3)/2 => d=5 diagonais


Que questão massa !!! Muito bom. Espero que tenha entendido. Abraços.

pessoal, alguém sabe uma resolução alternativa ? por mais que a resolução acima seja ótima, ela é um pouco difícil de entender...