Cônica

por juni127 Ter 11 Ago 2015, 22:31

Determine os comprimentos dos lados do retângulo de área máxima, com lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse da equação 2x²+y²=1.

Resposta::

por **Elcioschin** Qua 12 Ago 2015, 19:35

2x² + y² = 1 ---> x²/(1/2) + y²/1 = 1

a² = 1/2 ---> a = √2/2 ---> Eixo x
b² = 1 ---> b = 1 ---> Eixo y

y² = 1 - 2.x² ---> y = √(1 - 2.x²) ---> y = (1 - 2.x²)^1/2

Desenhe a elipse

Desenhe um retângulo dentro da elipse e seja um dos vértices P(x, y) = P.[x, +(1 - x²)^1/2

Os lados do triângulo são: 2x e 2.(1 - x²)^1/2

S = 2.x.2.(1 - x²)^1/2 ---> S = 4.x.(1 - x²)^1/2

Derivando ---> S' = 4x.{(1/2). (-4x)/√(1 - 2x²)] + 4.√(1 - 2x²)

S' = 0 ---> 8.x²/√(1 - 2x²) = 4.√(1 - 2x²) = 0 ---> 2x² = 1 - 2x² ---> x = √2/2

Um dos lados é 2x = √2 = 2^1/2

Calcule o outro lado

por magnusmanrik Qua 22 Abr 2020, 15:17

Saudações guerreiros! Alguém poderia me ajudar a resolver essa questão sem derivadas, pois não tenho esse conhecimento ainda. Creio eu ser possível, pois se trata da Fuvest.

por **Elcioschin** Qua 22 Abr 2020, 19:32

y² = 1 - 2.x² ---> y = √(1 - 2.x²)

Seja P o vértice do retângulo, no 1º quadrante: P[x, √(1 - 2.x²)]

S = (2.x).[2.y] ---> S = (2.x).[2.√(1 - 2.x²)]

S²= 4.x².[4.(1 - 2.x²)] ---> S² = - 32.(x²)² + 16.x²

Temos uma função do 2º grau na variável x². O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. O valor máximo ocorre no vértice da parábola

(x²)V = - b/2.a ----> Complete e calcule os lados.