(EFOMM - 2016) Geometria plana.

PROVA: BRANCA  FIS - MAT  2016-1. 16° Questão.

Seja um quadrado de lado 2. Unindo os pontos médios de cada lado, temos um segundo quadrado. Unindo os pontos médios do segundo quadrado, temos um terceiro quadrado, e assim sucessivamente. O produto das áreas dos dez primeiros quadrados é 

(A) 2^-9/2
(B) 2^-25/2
(C) 2^-45/2
(D) 2^-45/2
(E) 2^-25

Primeiro quadrado --> lado = 2
Segundo quadrado --> lado = √2.1 = √2
Terceiro quadrado --> lado = √2 . √2/2 = 1
Quarto Quadrado --> lado = 1/2 .√2 = √2/2
Quinto Quadrado --> lado = √2 . √2/4 = 1/2
Sexto Quadrado --> lado = √2 . 1/4 = √2/4


Perceba o padrão: 
Entre os quadrados pares, os lados são divididos por 2 (do 2 ao 4 e do 4 ao 6, o lado foi dividido por 2)
Entre os ímpares, os lados também são divididos por 2 (do 1 ao 3 e do 3 ao 5, o lado foi dividido por 2)


Dessa forma, fica fácil concluir que:
Sétimo Quadrado --> lado = 1/4 (Metade do 5º)
Oitavo Quadrado --> lado = √2/8 (metade do 6º)
Nono quadrado --> lado = 1/8 (metade do 7º)
Décimo quadrado --> lado = √2/16 (metade do 8º)


O produto das áreas é dado por:
(2.√2.1.√2/2.1/2.√2/4.1/4.√2/8.1/8.√2/16)² = (8.√2/2^16)² = (2^7)/(2^32) = 2^-25

(E)

Primeiro iremos calcular a razão entre os lados do quadrado. Note que eles irão sempre obedecer uma razão de √2/2.
Sendo assim, a área irá decair em uma razão de 1/2.
Usaremos a fórmula do produto de uma P.G.

P(n)=a1^(n)*q^(n[n-1]/2)
a1=4
n=10
q=1/2

P(10) = 4^(10)*2^(-10*[9/2])
P(10) = 2^(-35)

Gabarito letra (E)