durante uma experiência de laboratório

Um aluno, durante uma experiência de laboratório, preparou uma solução em uma franco cônico e depois despejou todo o volume num frasco esférico de raio (r). Sabe-se que o formato do frasco cônico era um cone circular reto de altura (h) e raio da base (R). Curiosamente, a solução que ocupava metade do volume do frasco cônico encheu completamente o frasco esférico, sem transbordar. Os sólidos correspondentes aos formatos dos frascos são tais que a esfera pode ser perfeitamente inscrita no cone. Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor de h²/R² é: 
A) 8
B) 2
C) 8/3
D) 4/3
E) 4

Alguém sabe me dizer qual a conexão que existe na informação de que a esfera pode ser perfeitamente inscrita no cone?

Um outro modo de traduzir a questão seria:
Qual a relação h²/R² de um cone circular reto, onde h é a altura é R é o raio da base, se a esfera nele inscrita tem a metade do seu volume?

Voltando à sua pergunta, podemos inscrever uma esfera em qualquer cone mas a relação de volumes não será precisamente 1/2. Queremos apenas o cone cujo volume da esfera inscrita tem metade do seu volume; deste cone em particular pergunta-se a relação (h/R)². Note que não se pergunta sobre o raio r da esfera mas ele deverá ser considerado.

Cone: h, R ---> Vc = pi.R².h/3
Esfera: r ---> Ve = (4/3).pi.r³

Volume do líquido no cone ---> Vl = (1/2).(pi.R².h/3) ---> Vl = pi.R².h/6

Vl = Ve ---> pi.R².h/6 = (4/3).pi.r³ ---> R².h = 8.r³

Complete

Elcioschin escreveu:Cone: h, R ---> Vc = pi.R².h/3

Cone: h/2, R/2 ---> V'c =(1/3).pi.(R/2)²(h/2) ---> V'c = pi.R².h/24

V'c = Ve ---> pi.R².h/24 = (4/3).pi.r³

Relação entre R, r ---> r/(h - r) = R/h

Complete

 
 Elcio, porque na segunda linha da resolução, a altura e o raio ficam divididos por 2? Não poderia ser apenas:

 Cone: V'c = (1/2).pi.R².h/3    já que a questão fala que a solução ocupa metade do volume do frasco? 

 Além disso, você poderia explicar, por gentileza, por qual razão R e r não são iguais, já que a esfera pode ser perfeitamente inscrita no cone? Muito obrigada.

Júlia

Você está certa. Fiz uma correção na minha solução. E vou detalhar abaixo a semelhança de triângulos:

Desenhe um triângulo isósceles representando o cone, sendo AB = 2.R a base do triângulo e h sua altura. Seja V o vértice superior do triângulo (e do cone) base. Seja M o ponto médio de AB:

AM = BM = R

Seja O o centro do círculo inscrito no triângulo (que é o centro da esfera inscrita no cone) e sejam P e Q os pontos de tangência do círculo com VA e VB

OM = OP = OQ = r (raio do círculo inscrito no triângulo =  raio da esfera inscrita no cone)

OV = MV - OM ----> OV = h - r
AV² = MV² + AM² ---> AV² = h² + R²

Como pode se ver no desenho ---> R > r

Triângulos VPO e VMA são semelhantes:

OP/OV = AM/AV ---> OP²/OV² = AM²/AV² ---> r²/(h - r)² = R²/h²

Basta agora completar as contas.