Sólido de revolução

Seja S a região do plano dada por {2x + y ≤ 16
                                                        {x - y  ≤ 2
                                                        {x - 2  ≥ 0 .
O volume do sólido gerado pela rotação de 360º de S em torno da reta x + 1 = 0 é, em unidades de volume, igual a:
a) 208π
b) 235π
c) 252π
d) 316π

- trace no plano coordenado as retas:

2x + y = 16 -> y = - 2x + 16 (r)

x - y = 2 -> y = x - 2 (s)

x - 2 = 0 -> x = 2 (t)

obserwe que segundo as condições a região determinada é formada pelo triângulo de wértices:

retas (r) e (s) -> - 2x + 16 = x - 2 -> - 3x = - 18 -> x = 6 -> y = 4 -> A( 6, 4 )

retas (r) e (t) -> para x = 2 -> y = - 4 + 16 -> y = 12 -> B( 2, 12 )

retas (s) e (t) -> para x = 2 -> y = 0 -> C( 2, 0 )


- rotacionando o triângulo em torno da reta x = - 1 teremos  um sólido formado por dois troncos de cone.

- volume do tronco de cone -> (pi*h/3)*(r² +R² + r*R ) onde:

h -> altura do tronco
r -> raio da base menor
R -> raio da base maior

- pontos simétricos dos vértices do triângulo em relação ao eixo de rotação:

A' ( - 8, 4 )
B' ( - 4, 12 )
C' ( - 4, 0)

- volume do tronco 1 -> ( pi*8/3 )*( 3² + 7² + 3*7 ) = 8*pi/3 )*79 =  632*pi/3

- volume do tronco 2 -> ( pi*4/3 )*( 3² + 7² + 3*7 ) = 4*pi/3 )*79 =  316*pi/3


- volume desejado será dado pela soma dos volume dos dois troncos menos o volume do cilindro de raio da base igual a 3 e altura 12

W = ( 632*pi + 316*pi )/3 - 108*pi = 208*pi