As Raizes u e v, de uma Equação.

por Gobate I Seg 01 Jun 2015, 13:34

Bom dia colegas, gostaria da ajuda de alguém com este exercício:

"Considere a equação x^2-2x-7=0 cujas raízes denotamos por u e v. Sabendo que u^2012 + v^2012 = a e
u^2013 + v^2013 = b, o valor de u^2014+v^2014 é igual a:
A) 7b + 2a
B) 2b + 5a
C) 5a-2b
D) 3a - 7b
E) 2b - 7a

Resposta : E

Se puderem me ajudar, agradeõ e muito,
Grato,
Gobate

por **Carlos Adir** Seg 01 Jun 2015, 13:41

Por Girard, podemos dizer que u + v = 2, e que u . v = -7
Pegando u^2012 + v^(2012) = a, u^2013+v^2013=b, então:

Assim, temos que:
u^2014 + v^2014 = (u^2013 + v^2013)(u + v) - u^2013 . v - v^2013 . u =
= b ( 2) - u . v (u^2012 + v^2012) = 2b - (-7) (a) = 2b+7a

por Gobate I Seg 01 Jun 2015, 17:09

Carlos Adir escreveu:Por Girard, podemos dizer que u + v = 2, e que u . v = -7
Pegando u^2012 + v^(2012) = a, u^2013+v^2013=b, então:

Assim, temos que:
u^2014 + v^2014 = (u^2013 + v^2013)(u + v) - u^2013 . v - v^2013 . u =
= b ( 2) - u . v (u^2012 + v^2012) = 2b - (-7) (a) = 2b+7a

Olá Carlos, obrigado pela resposta.....
Bom, sou meio obtuso em algumas passagens, o que para alguns parece obvio, para mim demanda um pouco mais de tempo.
Vou pegar papel e lápis, vou colocar essa sua resolução e ver se consigo chegar as conclusões que você colocou.
Qualquer coisa posso lhe recorrer novamente?
Por enquanto,
Grato.

por **Carlos Adir** Ter 02 Jun 2015, 08:56

Podes sim. Para ficar mais legível:

$\\ \mathrm{\left(u^{2013} + v^{2013}\right)(u+v)= u^{2014} + uv^{2013}+u^{2013}v+v^{2014}} \\ \mathrm{u^{2014}+v^{2014}= \left({\color{Red} u^{2013}+v^{2013}} \right )\left({\color{Blue} u+v} \right ) - {\color{Golden} uv} \left({\color{Orchid} u^{2012}+v^{2012}} \right )} \\ \mathrm{u^{2014}+v^{2014}= {\color{Red} b} \cdot {\color{Blue} 2} - {\color{Golden} (-7)} \cdot {\color{Orchid} a}} \\ \mathrm{u^{2014}+v^{2014}=2b + 7a}$

Para bater com E), é necessário que a função seja x²-2x+7

por Gobate I Ter 02 Jun 2015, 16:47

Carlos Adir escreveu:Podes sim. Para ficar mais legível:

$\\ \mathrm{\left(u^{2013} + v^{2013}\right)(u+v)= u^{2014} + uv^{2013}+u^{2013}v+v^{2014}} \\ \mathrm{u^{2014}+v^{2014}= \left({\color{Red} u^{2013}+v^{2013}} \right )\left({\color{Blue} u+v} \right ) - {\color{Golden} uv} \left({\color{Orchid} u^{2012}+v^{2012}} \right )} \\ \mathrm{u^{2014}+v^{2014}= {\color{Red} b} \cdot {\color{Blue} 2} - {\color{Golden} (-7)} \cdot {\color{Orchid} a}} \\ \mathrm{u^{2014}+v^{2014}=2b + 7a}$

Para bater com E), é necessário que a função seja x²-2x+7

Olá Carlos, gostaria primeiramente de lhe agradecer pela atenção e pedir desculpas pois a alternativa E eu acabei digitando errada, o correto é E) 2b+7a. "Você tem razão"
Bom quanto a sua resolução, entendei algumas coisas, outras não, vejamos:
A relação soma e produto foi utilizada quando você determinou u+v = 2 e u.v= -7 >>> Certo?
Pois bem, vi que você efetuou uma multiplicação aplicando a propriedade distributiva:
(u^2013 + v^2013)(u+v) = u^2104 + vu^2013 + uv^2013 + v^2014
Pois bem, agora minha pergunta é: O que motivou você a fazer esta multiplicação, qual o conceito matemático por de trás dela?
Bom continuando, obtemos com esta multiplicação a seguinte sentença:
u^2104 + vu^2013 + uv^2013 + v^2014
Não consegui captar a próxima etapa, que chega em:
(u^2013 + v^2013)(u+v) - uv(u^2012 + v^2012)
Me desculpe pela ignorância é que realmente não entendi, se tiver um tempo e puder ajudar, agradeço.
Desde já grato,
Gobate.