Logaritmos I

por Orihara Seg 01 Jun 2015, 10:03

Resolva as equações:

a) log2x x = - 2
b) logx 2x = 1/2
c) log√(x-3) (x² - 2) = 4

O que está em negrito é a base.

por **Jose Carlos** Seg 01 Jun 2015, 11:11

log..........(x²-2) = 4
...\/(x-3)

( \/(x-3) )^4 = x² - 2

(x-3)² = x²-2

x² - 6x + 9 - x² - 2

- 6x = - 11

x = 11/6

por Jeferson Alves Seg 01 Jun 2015, 11:39

Olá, vamos aos cálculos:
a)
log_2x x=-2
(passo 1: mudar a base)
(log₂ x)/(log₂ 2x)=-2
(log₂ x)/(log₂ 2+log₂ x)=-2
(log₂ x)/(1+log₂ x)=-2
-2(1+log₂ x)=log₂ x
-2-2log₂x=log₂ x
-2=3log₂x
-2/3=log₂ x
(passo 2: voltar para exponencial)
2^-(2/3)=x
x=1/2^(2/3)
(passo 3: racionalizar o denominador)
x=1/2^(2/3). (2^1/3)/(2^1/3)
x=1. (2^1/3)/2
x=2^1/3/2 ou x é igual a raiz cúbica de 2 dividida por 2

b)
log_x 2x=1/2
(passo 1: mudar a base)
(log₂ 2x)/(log₂ x)=1/2
(log₂ 2+log₂ x)/ (log₂ x)=1/2
(1+log₂ x) / (log₂ x)=1/2
2+2log₂ x=log₂ x
log₂ x=-2
(passo 2: voltar para exponencial)
2^-2=x
x=1/4

c)
log_(x-3)^1/2 (x²-2)=4
1/(1/2)log_(x-3) (x²-2)=4
2log_(x-3) (x²-2)=4
log_(x-3) (x²-2)=2
(voltar para exponencial)
(x-3)²=x²-2
x²+9-6x=x²-2
6x=11
x=11/6

por Orihara Seg 01 Jun 2015, 11:42

Obrigado a ambos.

É estranho que na parte em que estou no livro nada foi falado acerca da mudança de base ainda.

por Jeferson Alves Seg 01 Jun 2015, 12:10

Entendo, é possível resolvê-los utilizando outras propriedades, principalmente aquelas referentes aos números reais. Tudo depende do caminho mais confortável para o operador. Perceba:
log_2x x=-2
(2x)^-2=x
1/(2x)²=x
1=4x².x
x³=1/4
x=(1/4)^(1/3)
x=1/4^(1/3)
x=1/(2²)^(1/3)
x=1/2^2/3

...................depois resolve-se da mesma forma como mostra o passo 3 em a)