geometria plana

por Monstro do Pântano Dom 03 maio 2015, 20:08

Uma esfera de centro A e raio igual a 3 dm é tangente ao plano α de uma mesa em um ponto T. Uma fonte de luz encontra-se em um ponto F de modo que F, A e T são colineares. Observe a ilustração:

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Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de centro T definido pela sombra da esfera projetada sobre a mesa. Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância FT, em decímetros, corresponde a:

(A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 7

Resposta : C

por **Ashitaka** Dom 03 maio 2015, 21:19

Monstro do Pântano escreveu:Uma esfera de centro A e raio igual a 3 dm é tangente ao plano α de uma mesa em um ponto T. Uma fonte de luz encontra-se em um ponto F de modo que F, A e T são colineares. Observe a ilustração:

Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de centro T definido pela sombra da esfera projetada sobre a mesa. Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância FT, em decímetros, corresponde a:

(A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 7

Resposta : C

4π3² = πr²
R = 6 dm (da sombra)

Considere P o ponto de tangência do raio de luz tangente à esfera. Seja x = FT.
Do triângulo retângulo AFP:
sena = r/AF = 3/(x - 3)
tga = 6/x

tg²a + 1 = 1/cos²a
tg²a + 1 = 1/(1-sen²a)
36/x² + 1 = 1/(1-9/(x-3)²)
x = 8 dm.