Áreas de regiões limitadas

por Carlos Aquino Qua 15 Set 2010, 10:39

Expresse a área de um círculo de raio r através de uma integral definida. Depois use o resultado para mostrar que a área da elipse de semi-eixos a e b, tem valor igual a piab.

por **Euclides** Qua 15 Set 2010, 14:59

Círculo:

$\\\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx\,\,\to\,\,\int_{0}^{r}\sqrt{r^2\left ( 1-\frac{x^2}{r^2} \right )}\,dx\hspace{15}\begin{cases}\frac{x}{r}=sen\theta\\dx=rcos\theta \end{cases}\\\\\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx=r\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos\theta.rcos\theta\,d\theta=r^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^2\theta\,d\theta$

$\\u=cos\theta\,\,\,\,\,dv =cos\theta\\du=-sen\theta\,\,\,\,\,v=sen\theta\\\\\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^2\theta\,d\theta=cos\theta.sen\theta+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sen^2\theta\\\\\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^2\theta\,d\theta=cos\theta.sen\theta+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1d\theta-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^2\theta\,d\theta$

$\\2r^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^2\theta\,d\theta=r^2\left (cos\theta.sen\theta+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1d\theta \right )\\\\r^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^2\theta\,d\theta=r^2\cdot \frac{cos\theta.sen\theta}{2}+r^2\left (\frac{\theta}{2} \right )_0^{\frac{\pi}{2}}\\\\\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx=\frac{\pi r^2}{4}$

como calculamos a área de um quadrante apenas, a área total será $\pi r^2$

Elipse:

resolução análoga

$\\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\,\,\,\to\,\,\,y=b^2\left ( 1-\frac{x^2}{a^2} \right )\\\\\\A=4\int_{0}^{a}b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\,dx=4b\int_{0}^{a}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\,dx$

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