Encontrar a equação da circunferência

por Jorge Mendes Ter 31 Mar 2015, 11:47

A equação da circunferência de menor raio que passa pelos pontos de coordenadas (3,1) e (3,3) e é tangente à reta x+y=2 é :

a) x² + y² -8x -4y +18 = 0
b) x² +Y² -6x -4y +12=0
c) x² +y² -4y -6=0
d)x² +y² -4x -4y +6 =0
e) x² +y² -2x -4y =0

Gab d)

por **Elcioschin** Ter 31 Mar 2015, 13:43

Desenhe um sistema xOy, poste os pontos A(3, 1) e B(3, 3) e trace a reta que passa por (0, 2) e (2, 0)

A menor circunferência toca a reta no 1º quadrante (a maior no 4º quadrante)

Seja C(xc, yC) o centro da circunferência---> (x - xC)² + (y - yc)² = R²

Ponto A(3, 1) ---> (3 - xc)² + (1 - yC)² = R² ---> Desenvolva ---> I

Ponto B(3, 3) ---> (3 - xc)² + (3 - yC)² = R² ---> Desenvolva ---> II

I - II ---> Calcule yC = 2

Substitua yC em I (por exemplo) e chegue numa equação do 2º grau em xC (em função de R²) ---> III

Distância de C(xC, yC) à reta = R

R = |1.xC + 1.yC - 2)|/√(1² + 1²) ---> IV

Com III e IV calcule xC e R

por **Nina Luizet** Ter 31 Mar 2015, 13:56

Outro possível raciocínio, mestre Elcioschin ?

1)Encontrar o ponto médio do segmento cujas coordenadas são (3,1 ) e (3,3).

2)A coordenada do centro será (xc, 2).

3)Calcular a distância do centro da circunferência a um ponto que está na extremidade.

4)A partir disso, reformular a equação da reta e obtê-la na forma y '= mx + n. Substituir o y da equação da circunferência pelo y'. Então, temos que x² + y² + ax + βy + γ = 0
e x² + (y')² + α x + βy^' + γ = 0