Somatório

por nandofab Sáb 14 Mar 2015, 00:11

Spoiler:

Calcule $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{6^{k}}{(3^{k} - 2 ^{k})(3^{k+1} - 2^{k+1})}$

por nandofab Sáb 14 Mar 2015, 22:04

Alguém!? to sofrendo com esse problema Sad

por **Carl Sagan** Sáb 14 Mar 2015, 23:56

Acho que é isto:

$6^{k}=3^{k} \cdot 2^{k} \cdot 1=3^{k} \cdot 2^{k} \cdot (3-2)\\ \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }6^{k}=3 \cdot 3^{k} \cdot 2^{k}-2 \cdot 3^{k} \cdot 2^{k}\\\\ \frac{6^{k}}{(3^{k}-2^{k}) \cdot (3^{k+1}-2^{k+1})}=\frac{A}{3^{k}-2^{k}}+\frac{B}{3^{k+1}-2^{k+1}}\\\\ 6^k=A \cdot(3 \cdot 3^{k}-2 \cdot 2^{k})+B \cdot (3^{k}-2^{k})\\ 6^{k}=A \cdot 3 \cdot 3^{k}- A \cdot 2 \cdot 2^{k}+B \cdot 3^{k}-B \cdot 2^{k}\\ 3 \cdot 3^{k} \cdot 2^{k}-2 \cdot 3^{k} \cdot 2^{k}=A \cdot 3 \cdot 3^{k}- A \cdot 2 \cdot 2^{k}+B \cdot 3^{k}-B \cdot 2^{k}\\\\ \text{Para que a igualdade acima seja satisfeita:}\\ A=2^{k}\\ B=-2A=-2 \cdot 2^{k}\\$

$\sum _{k=1}^{\infty} \frac{6^{k}}{(3^{k}-2^{k}) \cdot (3^{k+1}-2^{k+1})}=\sum _{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}}{3^{k}-2^{k}}+\frac{-2 \cdot 2^{k}}{3^{k+1}-2^{k+1}}=\\ \sum _{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}}{3^{k}-2^{k}}-\frac{2 \cdot 2^{k}}{3^{k+1}-2^{k+1}}\\\\ \text{Substituindo para k=1,2,3,4...} \Rightarrow \text{A soma \'e telesc\'opica, ent\~ao:} \\\\ 2-\frac{4}{5}+\frac{4}{5}-\frac{8}{19}+\frac{8}{19}-\frac{16}{65}+\frac{16}{65}-...=\boxed{2}\\$

por nandofab Dom 15 Mar 2015, 02:19

Muito bom. Obrigado! Achei brilhante a ideia de escrever 1 como 3-2. Tipo, tentei pegar sua eq e colocar na seguinte forma: $3.3^{k}.2^{k} - 2.3^{k}.2^{k} = + 3^{k}(3A + B) -2^{k}(2A + B)$ . Igualei os termos mas n consegui achar A nem B. pq??

por **Carl Sagan** Dom 15 Mar 2015, 17:44

Valeu. Acredito que não é possível isolar o A e o B (pois do lado esquerdo os dois termos tem 2^k e 3^k, então não dá pra usar igualdade de polinômios), mas pode-se comparar os dois lados e perceber que dois termos do lado direito devem se cancelar, e eles não podem ter 3^k (do lado esquerdo ambos possuem 3^k, por isso deve permanecer), para isso funcionar o B deve ser-2A e A=2^k.

por nandofab Dom 15 Mar 2015, 18:22

Ata.. Só posso usar a igualdade de polinômios entre os coeficientes. No caso, eu tentei igualar 3a + b com 3.2^k, sendo que 2^k é variável. Além disso, o polinômio do lado esquerdo é de grau 2, e o do direito de grau 1, correto? Entendi a explicação, obrigado!

por **jango feet** Seg 16 Mar 2015, 14:21

Acompanhei a solucao com entusiasmo, carl sagan me diz como se faz para colocar esse quadrado em torno da resposta final no latex? Uso faz tempo mas ate hj nao sei.