Pontos notáveis no triângulo

por Fabinho snow Qui 19 Fev 2015, 10:01

Na figura, ABCD é retângulo, M é o ponto médio de CD e o triângulo ABM é equilátero. Sendo AB = 15, calcule AP
Pontos notáveis no triângulo 2ap45w

Gabarito:

por **JoaoGabriel** Qui 19 Fev 2015, 10:53

Note que AD corresponde à altura do triângulo, portanto AD = BC = 15V3/2

Seja AP = x.

Trace a partir de P uma altura ate o lado AB e a chame de h. Seja E o ponto que esta altura toca AB.

Se AE = u, então EB = 15 - u

Facilmente nota-se que x = 2u (cosseno de 60) e h = uV3 (tangente de 60)

Por semelhança de triângulos:

h/AD = EB/AB

uV3/( 15V3/2) = (15 - u)/15

2u = 15 - u --> 3u = 15 --> u = 5

Como x = 2u, x = 10.

por **Elcioschin** Qui 19 Fev 2015, 11:51

Outra solução por GA, aproveitando os dados do Gabriel:

A(0, 0), B(15. 0), C(15, 15√3/2) D(0, 15.√3/2), M(15/2, 15.√3/2)

Reta AM ---> y = tg60º.x ---> y = √3.x

Reta BD ---> y - 0 = (- 15√3/2/15).(x - 15) ---> y = - (√3/2).x - 15.√3/2

P(xP, yP) ---> √3.xP = - (√3/2).xP - 15.√3/2 ---> xP = 5 ---> yP = 5.√3

AP² = (√5)² + (5.√3)² ---> AP² = 25 + 75 ---> AP = 10