Índia - Números Complexos

por Lord Mentha Sáb 31 Jan 2015, 10:08

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Se z1, z2 e z3 são números complexos que satisfaz |z1|=1, |z2|=2, |z3|=3 e |z1+z2+z3|=1. Então o valor da expressão |9*z1*z2 + 4*z1*z3 + z2*z3| vale:

A)1
B)3
C)6
D)9
E)14
"

Não tenho a resposta :/
Será que alguém consegue me ajudar aqui? XD

por **Robson Jr.** Sáb 31 Jan 2015, 13:20

Essa questão cobra uma propriedade bastante usada em complexos:

$\small \boxed{\left | z \right |^2=z.\overline{z}}$

Seja "E" o valor da expressão pedida. Observe que 9 = |z₃|², 4 = |z₂|² e 1 = |z₁|²:

$\small E=\left | 9z_1z_2+4z_1z_3+z_2z_3 \right | \\ \therefore \ \ E=| |z_3|^2z_1z_2-2+|z_2|^2z_1z_3+|z_1|^2z_2z_3| \\ \therefore \ \ E= | z_1z_2z_3.\overline{z_3}+z_1z_2z_3.\overline{z_2}+z_1z_2z_3.\overline{z_1}| \\ \therefore \ \ E= |z_1z_2z_3|.|\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3}| \\ \therefore \ \ E = |z_1|.|z_2|.|z_3|.|z_1+z_2+z_3|$

Usando os valores do enunciado:

$\small \boxed{E=6}$

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