Frações Algébricas

por Hoshyminiag Seg 12 Jan 2015, 14:33

Sendo a,b e c número reais não nulos e a + b + c = 0, então o valor de:
[(a³ - 2abc) . (b³ - 2abc) . (a³ - 2abc)] / [(a² + b²) . (a² + c²) . (b² + c²)]

a) 1
b) 2
c) abc
d) ab
e) ac

Gabarito: C

por **Robson Jr.** Seg 12 Jan 2015, 16:30

Hoshyminiag, você poderia conferir o numerador? Tenho a impressão de que o certo seria (c³ - 2abc)(b³ - 2abc)(a³ - 2abc).

por Hoshyminiag Seg 12 Jan 2015, 16:42

Foi mal pelo erro. Você está certo

por **Robson Jr.** Seg 12 Jan 2015, 17:03

Seja S a soma pedida:

$\small S=\frac{(a^3-2abc)(b^3-2abc)(c^3-2abc)}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(b^2+c^2)}=\frac{abc(a^2-2bc)(b^2-2ac)(c^2-2ab)}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(b^2+c^2)}$

Como a + b + c = 0, podemos escrever:

$\small \\ a+b=-c \Rightarrow a^2+b^2+2bc=c^2 \Rightarrow c^2-2bc=a^2+b^2 \text{ (Eq.1)}\\ a+c=-b \Rightarrow a^2+c^2+2ac=b^2 \Rightarrow b^2-2ac=a^2+c^2 \text{ (Eq.2)} \\ b+c=-a \Rightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Rightarrow a^2-2bc=b^2+c^2 \text{ (Eq.3)}$

Substituindo as relações obtidas em S:

$\small S=\frac{abc(b^2+c^2)(a^2+c^2)(a^2+b^2)}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(b^2+c^2)} \Rightarrow \boxed{S=abc}$