Frações Algebricas

Sabendo que { ax+by+cz= 0 }. Simplifique a expressão:




A resposta é (a+b+c)

N = bc(y-z)² + ac(x-z)² + ab(x-y)² ; ax + by + cz = 0 (I)
N = bc(y² - 2yz+ z²) + ac(x² - 2xz + z²) + ab(x²-2xy+y²)
N = x²(ac + ab) + y²(bc +ab) + z²(bc +ac) -2[yzbc + xzac + abxy]
N = ax²(b+c) + by²(a+c) + cz²(a+b) - 2[(by)(cz) + (cz)(ax) + (ax)(by)]
de (I), substituindo by, cz e ax  :
N = ax²(b+c) + by²(a+c) + cz²(a+b) + 2[(ax+cz)(cz) + (ax+by)(ax) + (by+cz)(by)]
N = ax²(b+c) + by²(a+c) + cz²(a+b) + 2[(axcz + c²z² + a²x² + byax + b²y² + czby ]
N = ax²(a+b+c) + by²(a+b+c) + cz²(a+b+c) - a²x²-b²y² - c²z² + 2[c²z² + a²x² + b²y² + axcz + byax + czby ]
N = (a+b+c)(ax²+by²+cz²) + a²x² + b²y² + c²z² + 2(axcz +byaz + czby)
N = (a+b+c)(ax²+by²+cz²) + (ax+by+cz)²
N = (a+b+c)(ax²+by²+cz²)

S = (a+b+c)(ax²+by²+cz²)/(ax²+by²+cz²)
S = a+b+c

ps. irei mover tuas questões para seção olimpíadas..

Valeu Luck!