Matrizes

por **mauk03** Qua 07 Jan 2015, 15:00

Considere as matrizes reais $A=\begin{pmatrix} \sin \gamma &\sin \gamma \cot \gamma &0 \\ \cos \gamma &\cos \left ( \gamma +\frac{\pi }{2} \right ) &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}$ e $B=\left ( b_{ij} \right )_{3\times 3}$ , tal que $b_{ij}=\begin{cases} \alpha i+\beta j & \text{ se } i< j \\ \gamma ^{i-j} & \text{ se } i\geq j \end{cases}$ , com $\alpha,\beta,\gamma\in \mathbb{R}^{*}$ .

Sabendo que a matriz $A^{2}B$ é simétrica, determine a soma dos elementos da diagonal secundaria da matriz inversa $(16B)^{-1}$ .

resposta:

por PedroCunha Sáb 10 Jan 2015, 01:57

Vamos lá.

Simplificação: \\ \ cos \left (\gamma + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin \gamma .

Matriz B:

\\ \begin{cases} a_{11} = 1, a_{12} = \alpha + 2\beta, a_{13} = \alpha + 3\beta \\ a_{21} = \gamma, a_{22} = 1, a_{23} = 2\alpha + 3\beta \\ a_{31} = \gamma^2 , a_{32} = \gamma , a_{33} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} 1 & \alpha+2\beta & \alpha+3\beta \\ \gamma & 1 & 2\alpha + 3\beta \\ \gamma^2 & \gamma & 1 \end{bmatrix}

Matriz A²:

\\ \begin{bmatrix} \sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ \cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ \cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \therefore \\\\ \begin{bmatrix} \sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma & \sin \gamma \cos \gamma - \sin \gamma \cos \gamma & 0 \\ \sin \gamma \cos \gamma - \sin \gamma \cos \gamma & \sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \therefore \\\\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}

Matriz A²B:

\\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & \alpha+2\beta & \alpha+3\beta \\ \gamma & 1 & 2\alpha + 3\beta \\ \gamma^2 & \gamma & 1 \end{bmatrix} \therefore \\\\ \begin{bmatrix} 1 & \alpha + 2\beta & \alpha + 3\beta \\ \gamma & 1 & 2\alpha + 3\beta \\ \gamma^2 & \gamma & 1 \end{bmatrix}

Matriz A²B^t:

\\ \begin{bmatrix} 1 & \gamma & \gamma^2 \\ \alpha + 2\beta & 1 & \gamma \\ \alpha + 3\beta & 2\alpha + 3\beta & 1 \end{bmatrix}

Como a A²B é simétrica, A²B = A²B^t. Assim:

\\ \alpha + 2\beta = \gamma = 2\alpha + 3\beta \\ \alpha + 3\beta = \gamma^2

Logo, a matriz B pode ser reescrita como \\ \begin{bmatrix} 1 & \gamma & \gamma^2 \\ \gamma & 1 & \gamma \\ \gamma^2 & \gamma & 1 \end{bmatrix}

Então, \\ 16B = \begin{bmatrix} 16 & 16\gamma & 16\gamma^2 \\ 16\gamma & 16 & 16\gamma \\ 16\gamma^2 & 16\gamma & 16 \end{bmatrix} .

Cheguei até aqui.

O que você fez na sua tentativa, mauk03?

Abraços,
Pedro

por **mauk03** Dom 11 Jan 2015, 11:37

Pedro, vc errou na multiplicação das matrizes A² e B, o resultado correto seria:
$A^{2}B=\begin{pmatrix} 1 &\alpha +2\beta &\alpha +3\beta \\ \gamma &1 &2\alpha +3\beta \\ 4\gamma ^{2} &4\gamma &4 \end{pmatrix}$ (a ultima linha é multiplicada por 4)

De α + 2β = γ, α +3β = 4γ² e 2α + 3β = 4γ, tem-se o sistema:
{α + 2β = (2α + 3β)/4.......{β = -2α/5
{α +3β = 4(α + 2β)²......{4α² + 16αβ + 16β² - α - 3β = 0
--> 4α² + 16α(-2α/5) + 16(-2α/5)² - α - 3(-2α/5) = 0 --> α = -5/4
.:. β = 1/2 e γ = -1/4

Assim:
$B=\begin{pmatrix} 1 &\gamma &4\gamma ^{2} \\ \gamma &1 &4\gamma \\ \gamma ^{2} &\gamma &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &-\frac{1}{4} &\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} &1 &-1 \\ \frac{1}{16} &-\frac{1}{4} &1 \end{pmatrix}$

Encontrando a inversa de 16B pelo wolframalpha conclui-se que a soma dos elementos de sua diagonal secundaria é 7/80, como era de se esperar.

Vlw Pedro cheers

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