Menor distância entre parábola e reta

por BiancaSiqueira Qui Dez 11 2014, 22:26

Precisa-se projetar um canal retilíneo para a ligação entre dois rios situados numa região plana. Nessa região, a representação matemática do curso de um dos rios é dada pela equação y = x² e a do outro, pela equação y = x-2. Admitindo-se que o canal possa ser construído em qualquer lugar entre os dois rios, qual seu menor comprimento possível?

r.: 1,24 unidades de comprimento

por PedroCunha Qui Dez 11 2014, 23:10

Olá.

A distância é dada por:

|1*x - 1*x² - 2|/√[1²+(-1)²] = |-x²+x-2|/√2

A distância só terá um máximo quando sua concavidade for voltada para cima ; logo, a expressão que utilizaremos será:

(x²-x+2)/√2

A distância miníma corresponde ao 'y' do vértice dessa parábola. Então:

d = -[(-1/√2)² - 4*(1/√2)*(2/√2)]/(4/√2) .:. d = -[ 1/2 - 4]/(4/√2) .:. d = 7√2/8 ~ 1,24 u.c.

Att.,
Pedro

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