Triângulo e circunferências inscrita e circunscrita

Dado um triângulo retângulo de catetos a e b e sendo r e R os raios das circunferências inscrita e circunscrita respectivamente, temos:

Resposta: a + b = 2*(R + r).

Obrigado !!!

Seja c a hipotenusa

Quando o triângulo retângulo está inscrito numa circunferência, a sua hipotenusa é igual ao diâmetro da circunferência ----> c = 2R

Faça agora o desenho do triângulo ABC (AC = b, BC = a , C é o vértice do ângulo reto) com a circunferência inscrita.

Pelo centro O da circunferência de raio R, trace uma perpendicular a cada lado do triângulo.
Seja P o ponto de encontro com o cateto A, Q o ponto de encontro com o cateto b e M o ponto de encontro com a hipotenusa.

CP = r ----> BP = a - r -----> BM = a - r ----> I

CQ = r ----> AQ = b - r ----> AM = b - r ----> II

I + II ---> AM + BM = a + b - 2r -----> AB = a + b - 2r ----> c = a + b - 2r

Igualando ----- a + b - 2r = 2R ----> a + b = 2*(R + r)