Problema de tangencia

por BiancaSiqueira Dom 26 Out 2014, 17:29

Dar a equação das circunferências que são tangentes às três retas
4x-3y-10=0
3x-4y-5=0
e 3x-4y-15=0

por vinitdasilva Seg 27 Out 2014, 17:18

A jogada é perceber que há duas retas que são paralelas:
3x-4y-5=0
3x-4y-15=0

A distância entre as duas retas paralelas é o dobro do raio da circunferência. Tome um valor qualquer em uma das retas que são paralelas (Onde x=0 ou onde y=0) e depois calcule a distância entre o ponto que você escolheu e a reta paralela à ela.

Use a fórmula da distância (não esqueça de considerar a parte modular) e depois monte um sistema com a terceira reta.

São duas equações de circunferência possíveis:

(x-30/7)²+(y-5/7)²=1

(x+10/7)+(y+25/7)²=1

Problema de tangencia 1o7u6t

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por **Jose Carlos** Ter 28 Out 2014, 15:21

Olá vinit,

Estava acompanhando seu raciocínio e fiquei com uma dúvida:

Sejam as retas:

(r) -> vermelha
(s) - > azul
(t) -> verde

Embora as retas (s) e (t) sejam paralelas, as retas (r) e (s) formam um determinado ângulo o que implica que a
tangente a essas duas retas não ocorre no ponto de interseção.

Obrigado.

por vinitdasilva Ter 28 Out 2014, 16:49

Bom, nesse caso eu não sei como provar... A resposta, então, seria: não existe circunferência tangente às retas?

Qual o ângulo mínimo para que exista ponto de tangencia entre as retas r e s?

Se plotar num gráfico as equações que eu coloquei ali em cima, o ponto de tangencia parece existir:

Problema de tangencia 2cr4yrm

por **Jose Carlos** Ter 28 Out 2014, 18:07

Olá,

Perceba que a circunferência tangencia as duas retas porém não tangencia o ponto de interseção. Concorda?
Observe que o ponto de tangencia não pertence à circunferência apresentada como solução.

Obrigado.

por vinitdasilva Ter 28 Out 2014, 19:06

Não entendi porque o ponto de tangencia não pertence à circunferência. Como provar isso?

por **Elcioschin** Ter 28 Out 2014, 21:32

Vinit

Você provou com o seu desenho ampliado (para a reta verde)

O ponto de tangência da circunferência com a reta vermelha é diferente do ponto de tangência da circunferência com a reta verde.

O mesmo ocorre com ponto de tangência da reta azul (você não mostrou a ampliação)

por **Jose Carlos** Ter 28 Out 2014, 22:05

Existe tangencia entre as retas sim, o seu primeiro desenho mostra isso, a circunferência tangencia as retas (r) e (s) e também a reta (t) só que a tangencia às retas (r) e (s) não ocorre no ponto de interseção das mesmas, como mostra o seu último desenho. O que acha?

por vinitdasilva Ter 28 Out 2014, 22:12

Ah! Entendi o que você quis dizer...
Existem 3 pontos de tangência. Um para cada reta!
No meu primeiro gráfico, eu não quis mostrar que o ponto de tangência entre as retas vermelha e verde fosse o mesmo ponto em que a circunferência tangenciava as retas... foi só um desenho demonstrativo mesmo...

Agradeço a vocês dois pelas respostas!

por BiancaSiqueira Dom 02 Nov 2014, 19:49

Olá... Valeu pelas respostas (:
Acabei conseguindo fazer montando três sistemas usando a fórmula da distância entre ponto e reta:

|4a - 3b - 10|=|3a - 4b -5|

|4a - 3b - 10|=|3a - 4b -15|

|3a - 4b -5|=|3a - 4b - 15|

Em que a e b são as coordenadas dos centros das circunferências. Eu acabei encontrando dois pontos:
A -- a=-10/7 e b=-25/7
e B --- a=30/7 e b=5/7

Usando a fórmula da distância novamente para cada ponto já sabendo (a;b) descobrimos que o raio da circunferência A vale 1 e o raio para a circunferência B vale 1 também.