Divisibilidade

por Gustavo Gomes 9/10/2014, 10:03 pm

Olá, pessoal!

Como posso mostrar que 37 divide 700...03 (3n+1 zeros)

Tentei reescrever: 37 divide 7.10^(3n+2)+3 mas creio que não seja o melhor caminho.

Aguardo. Grato.

por **Carlos Adir** 9/10/2014, 10:36 pm

$7\underbrace{000...000}_{3n+1}3$
Podes usar aritmética modular:
Assim como cria-se o método de divisibilidade por 3, por 7, ou qualquer outro primo, podemos escrever o seguinte:
Seja o número
$\\a_{n}a_{n-1}...a_3a_2a_1a_0\\a_n10^n + a_{n-1}10^{n-1}+\cdots+10a_1+a_0$
Assim:
$\\10^0 \equiv 1 \pmod{37}\\10^1 \equiv 10 \pmod{37}\\10^2 \equiv 26 \pmod{37}\\ 10^3 \equiv 1 \pmod{37}\\10^4 \equiv 10 \pmod{37}\\10^5 \equiv 26 \pmod{37}$
Então:
$\\10^{3n}a_{3n}+10^{3n-1}a_{3n-1}+\cdots 10a_1+a_0 \equiv\\ a_{3n}+26a_{3n-1}+10a_{3n-2} + \cdots + a_{3}+26a_2+10a_1+a_0 \pmod{37}$
Ou seja, podemos associar um valor multiplicativo à sua posição no número.
Ou seja, se 7 está na posição 5, então multiplicamos por 26. Se 7 estão na posiçao 6, multiplicamos por 1. Se 7 está na posição 7, então multiplicamos por 10.
Assim, como 7 está na posição 3n+2, então multiplicamos por 26.
26.7+3.1 = 185. E como 185 é divisivel por 37, então o número inicial também é.

Ou como preferir:
$\\10^{3n}a_{3n}+10^{3n-1}a_{3n-1}+\cdots 10a_1+a_0 = \\a_{3n}+a_{3n} \times \underbrace{999...999}_{3n} = 37k+a_3\\ 26a_{3n-1}+a_{3n-1} \times \underbrace{999..999}_{3n-3}74 = 37k'+ 26a_{3n-1}\\ 10a_{3n-2}+a_{3n-2}\times \underbrace{999..99}_{3n-3}0=37k''+10a_{3n-2}$
Como o número 7 está na posição 3n+2:
$\\7\underbrace{000...000}_{3n+1}3 = 7\cdot10^{3n+2}+3=\\ 7(\underbrace{999...999}_{3n}74 + 26)+3=7(\underbrace{999...999}_{3n}74)+7\times 26 + 3\\ =37(\underbrace{270270...270}_{3n}2)+185 =\\ =37(\underbrace{270270...270}_{3n}2)+37(5)$

Só achei meio óbvio que o número 3 tinha relação com a questão, pois informar que havia 3n+1 termos praticamente te dá a resposta.

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