Divisibilidade

se n ∈ ℕ* demonstre que n³ + 5n é divisível por 6

Basta provar (mód 2) e depois (mód 3).

Provando (mód 2):

1)Se n ≡ 0 (mód 2) => n³ ≡ 0 (mód 2) ; 5.n ≡ 0 (mód 2) =>
=> n³ + 5.n ≡ 0 (mód 2).

2)Se n ≡ 1 (mód 2) => n³ ≡ 1 (mód 2); 5.n ≡ 5 ≡ 1 (mód 2) =>
=> n³ + 5.n ≡ 2 ≡ 0 (mód 2).

Assim, n³ + 5.n ≡ 0 (mód 2) para qualquer n ∈ ℕ*.

Provando (mód 3):

1)Se n  ≡ 0 (mód 3) => n³  ≡ 0 (mód 3); 5.n  ≡ 0 (mód 3) =>
=> n³ + 5.n ≡ 0 (mód 3).

2)Se n ≡ 1 (mód 3) => n³  ≡ 1 (mód 3); 5.n  ≡ 5  ≡ 2 (mód 3) =>
=> n³ + 5.n ≡ 3  ≡ 0 (mód 3).

3)Se n ≡ 2 (mód 3) => n³  ≡ 8  ≡ 2 (mód 3); 5.n  ≡ 10  ≡ 1 (mód 3) =>
=> n³ + 5.n ≡ 3  ≡ 0 (mód 3)

Assim, n³ + 5.n ≡ 0 (mód 3) para qualquer n ∈ ℕ*.


Logo, conclui-se que n³ + 5.n ≡ 0 (mód 6).

C.q.d

tem como por indução?
abraços, valeu joao

É perfeitamente possível por indução.

Testando para n = 1: n³ + 5.n = 6 ≡ 0 (mód 6)

Supondo válido para n = k[1] + 1, deve-se provar a validade para n = k[1]:
(k[1] + 1)³ + 5.(k[1] + 1) = k[1]³ + 5.k[1] + [3.(k[1]² + k[1] + 2)] = 6.p[1]

Perceba, agora, que para provar para k[1] basta provar  que (k[1]²+ k[1]) é múltiplo de 2.

Como estou usando indução até aqui vou usar indução até o final.

Testando para k[1] = 1: k[1]² + k[1] = 2 ≡ 0 (mód 2)

Supondo válido para k[1] = k[2] + 1, deve-se demonstrar a validade para
k[1] = k[2].

(k[2] + 1)² + k[2] + 1 = k[2]² + k[2] + 2.(k[2] + 1) = 2.p[2] <=>
<=> k[2]² + k[2] = 2.(p[2] - k[2] - 1)

C.q.d

Obs: Todas as incógnitas aqui usadas são pertencentes ao conjunto ℕ*.

Outro modo:
n³ + 5n = n³ - n + 6n , 6|6n entao basta que 6|n³-n
n³-n = n(n²-1) = (n-1)n(n+1), como sao consecutivos pelo menos um fator é par, e um fator é múltiplo de 3, logo 6|n³ - n  ∴  6 | n³ + 5n , c.q.d

valeu luck e joão!!