Resto de divisão

O resto da divisão de 7^777 por 5

Ou seja, deixa resto 2 quando dividido por 5.
Podemos resolver assim também:



Caso queira, dá também:


Esse sistema de equivalência vem de:

Assim como não precisamos saber o valor de k, então não é necessário olhar.
Assim, o resto de 7^777 equivale ao resto de 7, que equivale a 2 quando dividido por 5.

Assim é um método simples, mas o mais prático e rápido(aritmética modular) que fiz vem de demonstrações, e acho que não é ncessário apresentar agora de forma rápida.

Caso queira tem a video-aula ensinando:
Aritmética - Aula 42 - 7+6=1. Aritmética Modular

Olá Carlos, muito obrigado pela resposta. Teria como, por favor, explicar as duas primeiras maneiras de uma forma mais completa ?

A primeira maneira, mais rápida por sinal, é dada por aritmética modular. Tem o link da video-aula na resposta.

A segunda é decompondo os valores, como fiz, 480*5 + 1 = 2401
Assim, qualquer número que estiver nas multiplicações de 194 termos de (480*5+1) será multiplo de 5, exceto o número 1 final.
Isto é, se temos 2 termos:
(480 * 5 +1 ) (480 * 5 +1 ) = 480*480*5*5+480*5*1+480*5*1+1=5(480*480*5+2*480)+ 1
Assim, veja que o número 5(480*480*5+2*480) é multiplo de 5, então resta-nos o número 1.
Faça na calculadora: o número (2401)*(2401) = 4 900 441
Assim, deixa resto 1.

Uma das teorias de aritmética modular é que se você tem um número n, e deixa resto m quando dividido por k, então n*n deixa resto m*m quando dividido por k
Por exemplo, 16 dividido por 3 deixa resto 1. Assim, 16*16 dividido por 3 deixa resto 1*1 = 1
Outro exemplo, 260 dividido por 31 deixa resto 12. Assim, 260*260 dividido por 31 deixa resto 12*12 = 144
E 144 deixa resto 20 quando dividido por 31 . Logo, 260*260 deixa resto 20 quando dividido por 31

Partindo dessa base, podemos estabelecer a relação:
sendo a e p primos entre si (M.D.C(a,p) = 1):

Pode-se fazer algumas relações:
3^(5-1) = 3^4 = 81 --> Quando dividido por 5, deixa resto 1.
3^(5-1) deixa resto 1 quando dividido por 5
Outro exemplo:
7^(3-1) = 7^2 = 49 --> Quando dividido por 3, deixa resto 1.
7^(3-1) deixa resto 1 quando dividido por 3
Outro:
2^(13 - 1) = 2^(12) =  4 096 --> Quando dividido por 13 deixa resto 1.
2^(13-1) deixa resto 1 quando dividido por 13.

Olá, Carlos, muito obrigado novamente. Me desculpe, não vi que você havia deixado um link para a vídeo-aula. Entendi completamente a questão, fico muito grato.