Resto de divisão

Ache o resto da divisão de 1! + 2! + ...+(10^10)! por 40

1.
Quando temos uma divisão de uma soma, o resultado pode ser calculado por meio da divisão de cada parcela da soma pelo divisor.
De forma análoga, isso se torna uma das propriedades da soma de frações de mesmo denominador, na qual pode se apenas somar os numeradores e conservar o denominador.
Ex:
[latex]\frac{16}{8} + \frac{24}{8} + \frac{32}{8} = \frac{16 + 24 + 32}{8} = 2 + 3 + 4[/latex]

2.
Veja que nos fatoriais, cada termo(n+1) é formado pelo produto entre o fatorial anterior(n!) e (n+1)
Ex:
[latex]2! = 2.1 = 2.1![/latex]


[latex]5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! [/latex]

[latex]100! = 100.99![/latex]



E assim por diante...


Portanto, como cada termo seguinte possui os mesmos fatores do anterior, se um fatorial é divisível por um determinado número, todos os seguintes também serão divisíveis por ele.
Ex:
Todos os fatoriais a partir de 2! são pares, pois todos possuem o fator 2 quando são transformados em produtos.

3.
Descobrindo-se o primeiro termo da soma divisível por 40, é possível concluir que todos os próximos serão divisíveis e que para achar o resto, é necessário apenas analisar-se os termos anteriores.


O primeiro termo divisível por 40 é 5! = 120. Toda a soma a partir de 5! é divisível por 40 e portanto não deixa resto.

Para descobrir o resto, faremos a divisão dos termos de 1! a 4!

[latex]\frac{1! + 2! + 3! + 4!}{40}[/latex]

[latex]\frac{1 + 2.1! + 3.2! + 4.3!}{40}[/latex]

[latex]\frac{1 + 2 + 6 + 24}{40}[/latex]


[latex]\frac{33}{40}[/latex]


O resto da divisão de 33 por 40 é 33, portanto este é o resto da divisão completa.

Obs: Há alguns casos em que mesmo que cada termo não seja divisível pelo divisor, a soma entre eles é.
Ex:
[latex]\frac{1+3+5+7}{2} = \frac{16}{2} = 8[/latex]

1, 3, 5 e 7 não são divisíveis por 2, porém a soma entre eles é.
No entanto, essa situação não aconteceria nessa questão pelo seguinte motivo: Para que um número seja divisível por 40, ele deve ser par. 
Como vimos no exemplo do item 2, todos os termos dessa soma são pares... exceto o primeiro que é ímpar(1!). 
Desse modo, a soma a partir do primeiro termo até qualquer termo resulta em um número ímpar indivisível por 40.

No fim, cada questão é um caso e essa foi a forma que encontrei para resolver.
Caso tenha o gabarito, por favor compartilhe para que eu possa corrigir possíveis erros em minha resolução.