Resto da divisão

Determinar o resto da divisão por 11 do número
4813¹⁴⁷.

Resp: 8

Hola Fafa.

Vou trabalhar com congruência em cima dos restos, até encontrar uma potência que dê resto 1.

4813¹ ≡ 6 (mod11)
4813² ≡ 3 (mod11)
4813³ ≡ 6*3 (mod11) ≡ 18 (mod11) ≡ 7 (mod11)
(4813²)² ≡ 3² (mod)11 ou
4813^4 ≡ 6*7 (mod11) ≡ 42 (mod11) ≡ 9 (mod11)
4813^5 ≡ 6*9 ou 3*7 (mod11) ≡ 42 ou 21 (md11) ≡ 10 (md11)
4813^6 ≡ 7*7 (mod11) ≡ 49 (mod11) ≡ 5 (mod11)
4813^7 ≡ 7*9 (mod11) ≡ 63 (mod11) ≡ 8 (mod11)
4813^8 ≡ 6*8 (mod11) ≡ 48 (mod11) ≡ 4 (mod11)
4813^9 ≡ 6*4 (mod11) ≡ 24 (mod11) ≡ 2 (mod11)
4813^10 ≡ 10*10 ou 3*4 ou 7*8 (mod11) ≡100 ou 12 ou 56 (md11) ≡ 1 (mod11) é o que estavámos procurando.

Agora precisamos saber quantas vezes 4813^10 cabe dentro de 4813^147, então:

147 : 10 = 14 e sobram 7. Portanto:

(4813^10)^14 * 4813^7, como 4813^10 deixa resto 1, então:
1^14 * 4813^7 , agora procure a potência de 7 lá em cima e veja o seu resto, temos então:

1*8 = 8

Não entendo muita coisa de congruência por isso ficou muito extensa a explicação.

Ei robalo, esse MOD é o tal do "module" ? É muito complicado de aprender ? Nós aprendemos isso ainda na escola ?
Obrigado.

Hola Luiseduardo.

Dizemos que dois números inteiros são congruentes, em relação a algum outro, quando deixam o mesmo resto na divisão por esse outro, ou seja, diz-se que “a é congruente a b módulo m” quanto tanto “a” quanto “b” deixam o mesmo resto na divisão por “m”. Veja a notação usual:
a ≡ b (modm).

Aplicando!!!!

12 ≡ 2 (mod5), pois 2 é o resto da divisão de 12 por 5.
12 ≡ 7 (mod5), pois 7 e 12 deixam o mesmo resto na divisão por 5.
24 ≡ 3 (mod7), pois 3 é o resto da divisão de 24 por 7.
28 ≡ 1 (mod9), pois 1 é o resto da divisão de 28 por 9.

Note que em todas elas acontece que:
12 - 2 ≡ 0 (mod5)
12 - 7 ≡ 0 (mod5)
24 - 3 ≡ 0 (mod7)
28 - 1 ≡ 0 (mod9)

Veja que essas propriedades vão ajudar muito na hora da resolução de questões mais elaboradas, pois a partir de agora será possível substituir números grandes, pelos seus restos na divisão em questão.

Exemplo:

Calcular o resto da divisão de (2006^2006 + 2004^2004)^2005 por 5.

O que nos interessa nesse caso são os últmos algarismos das bases, ou seja: 6 e 4
6 ≡ 1 (mod5)
4 ≡ - 1(mod5), agora podemos escrever:
(2006^2006 + 2004^2004)^2005 ≡ (1^2006 + (-1)^2004)^2005 ≡ 2^2005

Como 16 = 2^4 ≡ 1 (mod5), podemos escrever:

2^2005 = (2^4)^501 * 2¹ ≡ (1)^501 * 2 = 1*2 = 2. Logo (2006^2006 + 2004^2004)^2005 deixa resto 2 na divisão por 5.

Observe que vc também tem que trabalhar com potenciação.

isso vc já sabe ==> 26 : 3 = 8 e resto 2 ou
26 ≡ 2 (mod3) em outras palavras (26 - 2) é múltiplo de 3

Dê um olhada no TEOREMA CHINÊS DO RESTO em:
http://www.math.hawaii.edu/~lee/courses/Chinese.pdf

Olá Robalo,

Impressionante !!!
Consegui compreender muito bem sua explicação, adorei a resolução da questão que exemplificou. Muito obrigado mesmo. Tudo de bom e felicidades

Foi mesmo muito bom, professor! Parabéns!

Olá Robalo!

Maravilha!
Que resolução!

Essa questão é do livro do Paulo Pessoa.
Muito abrigada. Ficou muito clara a sua explicação.
Tenha uma boa noite
Fafa