Desigualdade de números complexos
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Desigualdade de números complexos
por Argolo Ter 26 Ago 2014, 11:22
(Universidade de Mackenzie-SP) Dentre todos os números complexos z que satisfazem a
desigualdade |z - 25i| ≤ 15, determine aquele que possui o menor argumento.
desigualdade |z - 25i| ≤ 15, determine aquele que possui o menor argumento.
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Re: Desigualdade de números complexos
por Ashitaka Sex 29 Ago 2014, 00:49
|z-25i| ≤ 15
|x+i(y-25)| ≤ 15
x² + (y-25)² ≤ 15²
x² + y² - 50y + 400 ≤ 0
O menor valor do argumento vem para o menor valor de y e maior valor de x (imagine a representação gráfica):
X do vértice aplicado à expressão em destaque = -b/(2a) = 50/2 = 25
Assim, temos, ao colocar y = 25 na expressão:
x² - 625 + 400 ≤ 0
-15 ≤ x ≤ 15
Devemos ter o maior x ---> x = 15
Devemos ter o menor y ---> y = 25
O complexo de menor argumento é z = 15 + 25i.
Acredito que seja isso.
|x+i(y-25)| ≤ 15
x² + (y-25)² ≤ 15²
x² + y² - 50y + 400 ≤ 0
O menor valor do argumento vem para o menor valor de y e maior valor de x (imagine a representação gráfica):
X do vértice aplicado à expressão em destaque = -b/(2a) = 50/2 = 25
Assim, temos, ao colocar y = 25 na expressão:
x² - 625 + 400 ≤ 0
-15 ≤ x ≤ 15
Devemos ter o maior x ---> x = 15
Devemos ter o menor y ---> y = 25
O complexo de menor argumento é z = 15 + 25i.
Acredito que seja isso.
Ashitaka- Monitor
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Re: Desigualdade de números complexos
por PedroCunha Sex 29 Ago 2014, 13:35
Olá, amigos.
Esta questão já existia no fórum:
https://pir2.forumeiros.com/t11043-numeros-complexos-com-inequacao
O gabarito é z = 12 + 16i
Segue ainda o link com outra resolução:
http://www.tutorbrasil.com.br/forum/matematica-ensino-medio/numeros-complexos-t17977.html
De forma mais geral:
http://pt.wikibooks.org/wiki/Guia_de_problemas_matem%C3%A1ticos/N%C3%BAmeros_complexos/Complexo_de_menor_argumento_em_fun%C3%A7%C3%A3o_de_duas_constantes
Att.,
Pedro
Esta questão já existia no fórum:
https://pir2.forumeiros.com/t11043-numeros-complexos-com-inequacao
O gabarito é z = 12 + 16i
Segue ainda o link com outra resolução:
http://www.tutorbrasil.com.br/forum/matematica-ensino-medio/numeros-complexos-t17977.html
De forma mais geral:
http://pt.wikibooks.org/wiki/Guia_de_problemas_matem%C3%A1ticos/N%C3%BAmeros_complexos/Complexo_de_menor_argumento_em_fun%C3%A7%C3%A3o_de_duas_constantes
Att.,
Pedro
PedroCunha- Monitor
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Re: Desigualdade de números complexos
por Ashitaka Sex 29 Ago 2014, 14:13
Oi, Pedro, obrigado por postar as soluções corretas. O ruim de de quando não postam o gabarito junto da questão é esse de acabarmos por não saber se a a nossa resposta está correta e postamos uma errada, ainda mais quando tem um grau de dificuldade maior :/
Olhando agora e sem sono, vejo que manquei na desigualdade. De fato, devemos maximizar x e minimizar y a fim de ter o menor argumento a, pois:
tga = y/x
Mas errei na hora de atribuir o valor de y. :/
Olhando agora e sem sono, vejo que manquei na desigualdade. De fato, devemos maximizar x e minimizar y a fim de ter o menor argumento a, pois:
tga = y/x
Mas errei na hora de atribuir o valor de y. :/
Ashitaka- Monitor
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Localização : São Paulo
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