ITA 2008 números complexos

por carlos.r Ter 19 Ago 2014, 00:10

Determine as raízes em C de 4z^6 + 256 = 0, na forma a+bi, com a,b ∈ R que pertençam a: S= {z∈ C; 1<|Z + 2|<3}

Na resolução do exercício, link abaixo, a resolução mostra z^6 = 64(cos(pi) + isen(pi)). O problema é como ele achou o arg(z). Toda resolução que vejo não mostra essa questão.

Além disso, para a segunda formula de Moivre posso dizer que o pi, da equação acima, é igual θ que se relaciona a (θ + 2kpi)/n?

http://www.curso-objetivo.br/vestibular/resolucao_comentada/ITA/ITA2008.asp?img=01

Tentei ser o mais claro possível. Obrigado pela ajuda.

por Luck Ter 19 Ago 2014, 00:30

cis(pi) = -1 , então vc pode escrever -64 como 64cis(pi).. e sim o pi é o θ da fórmula :
z^6 = (2^6) cis(pi)
z = 2cis[(pi + 2kpi )/6] , k ∈ {0,1,2,3,4,5}

por carlos.r Ter 19 Ago 2014, 08:06

Ha, então funciona assim. z^6 = -64
Como z^6 = 64cis(6.α) = -64
cis(6.α) = -64/64 = -1
Logo, não pode ser -1 para o seno, pois seria -i, assim, deve ser -1 para o cosseno.
6.α = pi -> α = pi/6
Mas, como para a segunda formula de Moivre: n.α = θ -> 6.pi/6 = θ -> pi = θ.

Obrigado pela ajuda.

por carlos.r Ter 19 Ago 2014, 09:02

O gráfico de um número complexo sempre se encontra na origem do plano de Argand Gauss? Se sim, porque?

por Luck Ter 19 Ago 2014, 15:57

carlos.r escreveu:Ha, então funciona assim. z^6 = -64
Como z^6 = 64cis(6.α) = -64
cis(6.α) = -64/64 = -1
Logo, não pode ser -1 para o seno, pois seria -i, assim, deve ser -1 para o cosseno.
6.α = pi -> α = pi/6
Mas, como para a segunda formula de Moivre: n.α = θ -> 6.pi/6 = θ -> pi = θ.

Obrigado pela ajuda.

bastava saber que cis(pi) = -1 que vc poderia escrever direto 64cis(pi) ou caso fosse z^6 = +64 por exemplo, teríamos z^6 = 64cis(0º).

carlos.r escreveu:
O gráfico de um número complexo sempre se encontra na origem do plano de Argand Gauss? Se sim, porque?

um complexo z = a + bi representa o ponto (a,b) no plano Argand-Gauss, que é chamado de afixo. A distância desse ponto à origem é o módulo do complexo. Se sua dúvida já for referente a outra questão, favor crie outro tópico..