UFU 2008 Números complexos

por carlos.r Qui 25 Abr 2013, 13:04

Considere a equação p(z+1).q(z+1) = 0, em que os polinômios p(z) e q(z) são definidos por p(z) = z^4 + 3z² + 2 e q(z) = z³ – 1. Pode-se afirmar que a quantidade de raízes complexas, não reais, dessa equação é igual a:
A) 7.
B) 6.
C) 4.
D) 3.

Spoiler:

por **Elcioschin** Qui 25 Abr 2013, 17:19

p(z) = z^4 + 3z² + 2

p(z + 1) = (z + 1)^4 +3.(z + 1)² + 2 ----> p(z + 1) = (z^4 + 4z^3 + 6z² + 4z + 1) + 3.(z^2 + 2z + 1) + 2 -----> p(z + 1) = z^4 + 4z^3 + 9z² + 10z + 6

Este polinômio tem 4 raízes complexas

q(z) = z^3 -1 ----> q(z + 1) = (z + 1)^3 - 1 ----> q(z + 1) = z^3 + 3z^2 + 3z ----> q(z + 1) = (z² + 3z + 3).z

Este polinômio tem 1 raiz real (z = 0) e 2 raízes complexas

Total de raízes não reais (complexas) = 4 + 2 = 6

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