valor e m que forme o plano

18.2) Encontre o valor de m para que os pontos (1,2,m), (m,1,2), (1,3,4) e (-1,2,2) formem um plano. Encontre o valor de m para que o volume do tetrahedro formado pelos vetores associados aos 3 primeiros pontos seja igual a 1.

18.3) Encontre o vetor v1 de módulo 2 que seja paralelo ao vetor (1,2,3). Encontre o vetor v2 de módulo 2 que seja perpendicular ao mesmo vetor. Calcule a projeção do vetor (1,-1,2) sobre o vetor (1,2,3). Calcule a área do triângulo formado pelos vetores v1 e v2.

Procurei questoes similares na internet e em livros mas nada que me ajude apareceu se alguem puder me ajudar.

18.2) Vou chamar esses quatro pontos de A, B, C e D, respectivamente. Faça os vetores AB, AC e AD. Agora calcule o módulo do produto misto deles e iguale a zero, porque se isso for verdade, esses vetores são coplanares, ou seja, os pontos serão coplanares:

Se quiser a equação do plano, faça um produto vetorial de dois vetores quaisquer desses (após descobrir m para que essa expressão dê zero) e ache o vetor normal ao plano.


A segunda parte do quesito eu fiquei sem entender, já que se os pontos forem coplanares, não formaram um tetraedro.

18.3)
Sabendo-se que se v1 for paralelo ao vetor (1,2,3), então:
, onde k ∈ ℝ .

= 

=

=

K pode ser 2/√14 ou -2/√14 para se tornar paralelo de v



ii) Para v2 ser perpendicular a v, o produto escalar deles tem que ser igual a zero, ou seja:



Se você perceber, um vetor ortogonal a v é o vetor (2,-1,0), se acharmos um colinear a ele de módulo dois, teremos o vetor v2.
Fazendo os mesmos cálculos acima, vemos que se multiplicarmos o vetor (2,-1,0) por 2/√5, teremos 2 vetor v2:



iii)Pra calcular a projeção, você aplica a fórmula direta.

iv) Para calcular a área do triângulo, pode-se fazer o produto vetorial de v1 e v2 e dividir o módulo do mesmo por dois: