Produto Interno
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Produto Interno
por Linnyzinha Ter 12 Ago 2014, 13:01
Prove que < u,v> = 1/4 (||u + v||² - || u - v||²). Conclua que u e v são perpendiculares se, e somente se, ||u + v|| = ||u - v||
Linnyzinha- Iniciante
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Re: Produto Interno
por Jader Ter 12 Ago 2014, 14:59
Vamos desenvolver o segundo membro da igualdade e verificar se de fato é igual o primeiro:
1/4 ( ||u||² + 2u.v + ||v||² - ||u||² + 2u.v - ||v||²) = 1/4 ( 4u.v ) = u.v = < u,v >
Logo, provamos que, de fato, é verdade a igualdade.
Agora para mostrar que u e v são perpendiculares se, e somente se, || u + v || = || u - v ||, vamos partir da definição de ortogonalidade de vetores, então temos:
u e v são ortogonais se, e somente se, seu produto interno for igual a zero, portanto temos:
< u,v > = 0 => 1/4 ( ||u+v||² - ||u-v||² ) = 0 => ||u+v||² - ||u-v||² = 0 =>
=> ||u+v||² = ||u-v||² => ||u+v|| = ||u-v||
1/4 ( ||u||² + 2u.v + ||v||² - ||u||² + 2u.v - ||v||²) = 1/4 ( 4u.v ) = u.v = < u,v >
Logo, provamos que, de fato, é verdade a igualdade.
Agora para mostrar que u e v são perpendiculares se, e somente se, || u + v || = || u - v ||, vamos partir da definição de ortogonalidade de vetores, então temos:
u e v são ortogonais se, e somente se, seu produto interno for igual a zero, portanto temos:
< u,v > = 0 => 1/4 ( ||u+v||² - ||u-v||² ) = 0 => ||u+v||² - ||u-v||² = 0 =>
=> ||u+v||² = ||u-v||² => ||u+v|| = ||u-v||
Jader- Matador
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