Trigonometria 2

Na figura a seguir, ABC é um triângulo equilátero. Cada um dos segmentos de reta cujas medidas são x,y e z é paralelo à um do lados do triângulo ABC. Sabe-se que X+Y+Z = 15 cm. Pode-se assim, concluir que o perímetro do triângulo ABC é igual a?



PS: Favor desconsiderar os tracejados de lapís.

Desde já agradeço

Seja A o vértice superior, B e C os inferiores esquerdo e direito e O o ponto do centro.
Sejam M, N, P os pontos em AB, AC e BC e seja AB = AC = BC = a

BM = BP.cos60º + O'P' + MO.cos60º ---> BM = x.(1/2) + z + x.(1/2)  ---> BM = x + z ---> I

CN = BM ----> CN = z

ON = PC - OP.cos60º - CN.cos60º ---> y = (a - x) - 2z.cos60º ----> y = a - x - z ---> a = x + y + z

Perímetro de ABC = 3a = 3x + 3y + 3z

Elcioschin escreveu:Seja A o vértice superior, B e C os inferiores esquerdo e direito e O o ponto do centro.
Sejam M, N, P os pontos em AB, AC e BC e seja AB = AC = BC = a

BM = BP.cos60º + MO.cos60º ---> BM = x.(1/2) + x.(1/2) z ---> BM = x + z ---> I

CN = BM ----> CN = z

ON = PC - OP.cos60º - CN.cos60º ---> y = (a - x) - 2z.cos60º ----> y = a - x - z ---> a = x + y + z

Perímetro de ABC = 3a = 3x + 3y + 3z

Olá prof. Elcio, obrigado pela ajuda...

Porém eu não consegui entender a relação utilizada...

BM = BP.cos60º + MO.cos60º ---> BM = x.(1/2) + x.(1/2) z


e  ON = PC - OP.cos60º - CN.cos60º 


não consegui visualizar o triângulo utilizado... poderia me explicar?


Desde já agradeço.

Vou detalhar melhor:

No trapézio MBPO

1) Trace por P uma perpendicular a MB, no ponto P'
2) Trace por O uma perpendicular a MB, no ponto O'

Os triângulos P^P'B e OÔ'M são os triângulos retângulos que você procura:

OM = PB = x
O'P' = OP = z
O^MO' = P^BP' = 60º (triângulo equilátero)

MO' = OM.cos60º ---> OO' = x.(1/2) ---> OO' = x/2
BP' = BP.cos60º ----> BP" = x.(1/2) ---> BP' = x/2

BM = MO' + O'P' + BP' ---> BM = x/2 + z + x/2 ---> BM = x + z

Observação: a minha resolução original ficou truncada; vou editar em vermelho

Vale o mesmo para o trapézio CPON