Ordenada de P

(UNISA SP/2012) O retângulo está inscrito numa circunferência de raio 5 e centro O,conforme a figura. Se a reta t, tangente à circunferência pelo ponto A, intercepta o eixo y no ponto P, pode-se concluir que a ordenada de P é:
a)6,06  b)6,15  c)6,25  d)6,50  e) 6,75

qual o gabarito? fiz aqui e deu 6,25

Concordo com 88sude,

temos uma circunferência de centro C( 0, 0 ) e R = 5

x² + y² = 25

- ponto T médio de BA: ->

5² = 3² + OT² -> OT² = 25 - 9 = 16 -> OT² = 16 -> OT = 4

T( 3, 4 )

- reta pelos pontos ( 0, 0 ) e ( 3, 4 ):

y = (4/3)x

- reta perpendicular à reta y = (4/3)x que passa pelo ponto ( 3, 4 ):

y = ( - 3/4 )x + ( 25/4 )

para x = 0 temos:

yP = 25/4 = 6,25

Seja M o ponto médio de AB ---> AM = BM = 3 ---> OA = 5

OM² = OA² - AM² ----> OM² = 5² - 3² ----> OM = 4

Equação da circunferência ---> x² + y² = 25 ---> I

Equação da reta r ---> y = a.x + b ---> Passa por A(3, 4) ---> 4 = 3a + b ---> b = 4 - 3a --->

y = a.x + 4 - 3a ----> II

Interseção de r com a circunferência:

x² + (a.x + 4 - 3a)² = 25 ---> x² + a².x² + + 2.(4 - 3a).x + (4 - 3a)² = 25 --->

(a² + 1).x² + (8 - 6a).x + (9a² - 24a - 9) = 0 ----> Equação do 2º grau

Para r ser tangente à circunferência ----> ∆ = 0 ---_> ∆ = b² - 4ac = 0 --->

(8 - 6a)² - 4.(a² + 1).(9a2 - 24a - 9) = 0

Tente resolver a equação, para a < 0 (coeficiente angular de r) ---> Calcule a, b

yP = b


Solução final do meu grande amigo José Carlos é bem mais simples

você também pode calcular o coeficiente angular da reta através da seguinte relação, que pode ser facilmente deduzida com a utilização de derivadas.
*Vale ressaltar que se o centro não fosse (0,0) já seria bem mais trabalhoso.

Obrigada a todos.