Concurso para Professores - FGV Ed. Básica II

por BieelsZaitsev Ter 01 Jul 2014, 12:46

A figura abaixo mostra, no plano R², a curva E de equação 3x² - 2xy + y² = 4 inscrita em um retângulo ABCD cujos lados são paralelos aos eixos.

Qual a Área do Retângulo?
Concurso para Professores - FGV Ed. Básica II F1c3854e-eeed-4bde-9ec5-464d18ba2952

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Resposta: 8√3

por **Euclides** Ter 01 Jul 2014, 16:50

Procure os pontos de tangência entre a reta vertical y=k e x=k e a elipse (∆=0)

$\\\Delta=4x^2-4(3x^2-4)=0\;\;\;\to\;\;\;x=\pm\sqrt{2}$

duas verticais que tangenciam a elipse

$\\x=\sqrt{2}\\x'=-\sqrt{2}$

analogamente para retas horizontais

$\\y=\sqrt{6}\\y'=-\sqrt{6}$

agora você escolhe a técnica para calcular a área. Uma rápida

$\\A=4\times\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{6}\;dx\;\to\;A=8\sqrt{3}$

ilustração

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