Área limitada pelo gráfico

por Cam™ Sáb 12 Jun 2010, 19:35

Calcule a área da região limitada inferiormente pelo gráfico de y=x²-3x+2 e limitada superiormente pelo eixo x.

R: 1/6 u.a

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Tentei resolver usando essa integral:
$A=\int_{1}^{2}(x^{2}-3x+2)dx$

mas minha resposta está dando -1/6, o sinal tá trocado.... eu sei que tem casos que acontece isso, mas não lembro o que tem que fazer pra dar a resposta com o sinal certo...

O que eu faço ?

Obrigada!

por **aryleudo** Sáb 12 Jun 2010, 20:16

Já sei... É porque a definição da área $Área limitada pelo gráfico Gif$ . Concorda?
Onde f(x) é a "função de cima" e g(x) é a "função de baixo". No nosso caso f(x) = 0 (o eixo x) e g(x) = x² - 3x + 2.

Assim:

$Área limitada pelo gráfico Gif.latex?\\A = \int_{1}^{2}(0 - (x^2 - 3x + 2))dx = \int_{1}^{2}( -x^2 + 3x - 2))dx = \left (-\frac{x^{3}}{3} +\frac{ 3x^2}{2} - 2x\right )_{1}^{2}\\\\ A = \left (-\frac{2^{3}}{3} + \frac{1^{3}}{3}\right ) + \left (\frac{ 3.2^2}{2} - \frac{ 3.1^2}{2}\right ) + \left ( -2.2 + 2.1\right )\\\\ A = -\frac{7}{3} + \frac{9}{2} - 2 = \frac{-14 + 27 - 12}{6} = \frac{1}{6}\hspace{5}u.a$

Forte abraço,

Aryleudo (Ary).

por Cam™ Sáb 12 Jun 2010, 21:21

Oi aryleudo

Entendi seu raciocínio, nem tinha imaginado isso

Mas por que a outra fórmula que usa uma só função e 2 pontos na abscissa, não funciona nesse caso também?
$A=\int_{a}^{b}f(x)dx$

Como a função x²-3x+2 corta o eixo x, os 2 pontos pra se usar pra calcular a área são as raízes dessa função, certo? Se encaixaria sem problemas nessa fórmula..

Por isso fico na dúvida agora, em saber qual fórmula usar nesse tipo de questão:
Essa $A=\int_{a}^{b}f(x)dx$
ou essa $A=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx$

Só testando?

As duas pra mim fazem sentido usar, mas dão resultados diferentes...

Obrigada pela ajuda!

por **aryleudo** Sáb 12 Jun 2010, 21:54

Deixe ver se entendi!

$Área limitada pelo gráfico Gif$

É nada mais nada menos do que a aplicação geral onde g(x) = 0 (eixo x). Ou seja, f(x) é a "função de cima". Fui claro?

$Área limitada pelo gráfico Gif$

Um explicação é que por se tratar de área, então deve ser considerado positiva (pois, não faz muito sentido uma área negativa. Concorda?). Assim a utilização do módulo é justamente para evitar que a pessoa faça a confusão entre a "função de cima" e a "função de baixo", dessa forma você garante que a área seja positiva.

Não sei se esse termos "função de cima" e "função de baixo" estão claras. Mas fica fácil perceber isso com a construção dos gráficos.

Nesse caso:
y1 = x² (função de baixo)
y2 = 3x (função de cima).

Forte abraço e bastante sucesso,

Aryleudo (Ary).

por **Euclides** Sáb 12 Jun 2010, 22:11

Oi Cam,

calcular uma área é um problema GEOMÉTRICO e não ALGÉBRICO. Cada caso deve ser examinado geometricamente. O cálculo integral opera como FERRAMENTA. Veja as figuras abaixo:

Área limitada pelo gráfico Trik

Em cada uma delas você deverá tomar uma decisão. Veja a figura dois: a área procurada será dada por

$\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx$

A integral definida entre dois pontos fornece a área entre a curva e o eixo horizontal, como o Aryleudo disse:

$\\\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}0\,dx\to acima\,\,do\,\,eixo\\\\\int_{a}^{b}0\,dx-\int_{a}^{b}f(x)\,dx\to abaixo\,\,do\,\,eixo$

por Cam™ Dom 13 Jun 2010, 19:58

Oi aryleudo e Euclides !!

Ah entendi agora, é só a aplicação onde g(x)=0 né. E realmente vendo os gráficos é outra coisa... Tenho que passar a analisar geometricamente mesmo essas questões!

muito obrigada pela ajuda de vcs!