Módulo

por João Vítor1 Qui 22 maio 2014, 18:41

O conjunto solução da equação |3x - 2| = 3x - 2, no universo R, é:

GABARITO: ] 2/3 ; +∞ [

Eu fiz assim:

- (3x - 2) = 3x - 2

x = 2/3

3x - 2 = 3x - 2

0x = 0

x = R

Por que não bate?

por raymg3c Qui 22 maio 2014, 20:57

O conjunto solução da equação |3x - 2| = 3x - 2, no universo R, é:

Questão deveria ao inves de = ser > ou < não?

por etakatuzi Qui 22 maio 2014, 21:31

Pela definição, o módulo não pode ser negativo. Então antes de resolvermos devemos impor a condição de que o 2º membro da equação seja ≥0, ou seja,
3x-2 > 0 ---> x ≥ 2/3

Daí, teremos:
1) 3x-2 = 3x-2 --> 0=0 , ou seja, ∀ x > 2/3 verifica a condição imposta.

2) 3x-2 = -(3x-2) --> -3x-2 = -3x+2 --> x=2/3 , donde conclui-se que x =2/3 não verifica a condição imposta.

Sendo assim a solução será : x > 2/3 ou em símbolos, ]2/3 , +∞[

por João Vítor1 Qui 22 maio 2014, 22:23

Obrigado pela resolução, mas poderia me explicar melhor o porquê de termos que impor a condição que o segundo termo é maior que 0. Se a definição é |x| = x se x>= 0 e |x| = -x se x<=0 por que não impomos que 3x - 2 < 0 também?

por Andrew Wiles Qui 22 maio 2014, 22:56

Da propriedade modular : |x|=k <=> x=k ou x=k

|3x - 2| = 3x - 2 vem que :

Como o módulo de 3x - 2 é uma equação, logo não temos certeza que 3x - 2 é maior do que zero, logo a condição de existência desse módulo é :

3x - 2 > ou = 0 .
Se não for posta a condição 3x - 2 > ou = 0 . Como vamos ter certeza que ela vai ser maior do que zero ? por isso a condição, depois que posta, procuramos as solução, se alguma solução estiver de acordo com a condição de existência inicial, logo essa solução é verdadeira, pois trocando um elemento desse conjunto solução dentro do módulo, não vamos ter contradição.

Exemplo
|x-2|=2x-3 se não for levada em consideração a condição 2x-3  > ou = 0, chegaremos em um contradição, veja :

x-2=2x-3  => x=1 essa é uma solução, mas repara que quando x=1 , se for substituída na equação original chegaremos em

|-1|= -1 ( absurdo) como módulo de -1 é igual a -1 ? entendo o problema, temos então que considerar 2x-3 > ou =0 logo a condição: x > 3/2 ( qualquer solução em que se maior do que 3/2 ou igual a 3/2, ou se não estiver dentre o conjunto condição não existe solução ).

Não podemos impor 3x - 2 < 0 , pois o módulo de uma número é positivo ou nulo ( no caso de 0), quando falamos

|x|= x se x > 0 ou |x|= -x se x<0 e que estamos impondo é que se ele for um número negativo, quando for posto no módulo, ele será multiplicado por -1, na solução fazemos isso, se 3x - 2 < 0, temos que multiplicar ele por -1, e não apenas considerar 3x - 2 < 0 e pronto.

por etakatuzi Qui 22 maio 2014, 23:30

Andrew Wiles escreveu:Da propriedade modular : |x|=k <=> x=k ou x=-k

|3x - 2| = 3x - 2 vem que :

Como o módulo de 3x - 2 é uma equação, logo não temos certeza que 3x - 2 é maior do que zero, logo a condição de existência desse módulo é :

3x - 2 > ou = 0 .
Se não for posta a condição 3x - 2 > ou = 0 . Como vamos ter certeza que ela vai ser maior do que zero ? por isso a condição, depois que posta, procuramos as solução, se alguma solução estiver de acordo com a condição de existência inicial, logo essa solução é verdadeira, pois trocando um elemento desse conjunto solução dentro do módulo, não vamos ter contradição.

Exemplo
|x-2|=2x-3 se não for levada em consideração a condição 2x-3  > ou = 0, chegaremos em um contradição, veja :

x-2=2x-3  => x=1 essa é uma solução, mas repara que quando x=1 , se for substituída na equação original chegaremos em

|-1|= -1 ( absurdo) como módulo de -1 é igual a -1 ? entendo o problema, temos então que considerar 2x-3 > ou =0 logo a condição: x > 3/2 ( qualquer solução em que se maior do que 3/2 ou igual a 3/2, ou se não estiver dentre o conjunto condição não existe solução ).

Não podemos impor 3x - 2 < 0 , pois o módulo de uma número é positivo ou nulo ( no caso de 0), quando falamos

|x|= x se x > 0 ou |x|= -x se x<0 e que estamos impondo é que se ele for um número negativo, quando for posto no módulo, ele será multiplicado por -1, na solução fazemos isso, se 3x - 2 < 0, temos que multiplicar ele por -1, e não apenas considerar 3x - 2 < 0 e pronto.

por João Vítor1 Sex 23 maio 2014, 13:36

Entendi, muito obrigado!

por Andrew Wiles Sex 23 maio 2014, 15:32

De nada João Very Happy

por **Jose Carlos** Sex 23 maio 2014, 20:11

Tenho uma dúvida:

..........| x se x ≥ 0
| x | = |
..........|- x se x < 0

então:

| 3x - 2 | = 3x - 2

se 3x - 2 < 0 -> 3x < 2 -> x < 2/3

- 3x + 2 = 3x - 2

6x = 4 -> x = 2/3 ( que devemos desconsiderar pois estamos supondo x < 2/3 )

se 3x - 2 ≥ 0 -> x ≥ 2/3

3x - 2 = 3x - 2 -> 0 = 0

verdadeiro para todo valor de x e como estamos supondo x ≥ 2/3 -> S = { x E R/ x ≥ 2/3 }

[ 2/3 , +oo )

Onde estou me enganando ? Estará o gabarito errado ?