(Fuvest-SP) Considere as circunferências

(Fuvest-SP) Considere as circunferências que passam pelos pontos (0, 0) e (2, 0)  e que são tangentes à reta y = x + 2.

a) Determine as coordenadas dos centros dessas  circunferências. (1, 1) e (1, -7)
b) Determine os raios dessas circunferências.  √2 e 5√2

Olá.

Letra a:

(x-xc)² + (y-yc)² = R²

A circunferência passa pelos pontos (0,0) e (2,0):

(0-xc)² + (0-yc)² = R² .:. xc² + yc² = R² (i)
(2-xc)² + (0-yc)² = R² .:. xc² - 4xc + 4 + yc² = R² (ii)

i=ii: xc² + yc² = xc² - 4xc + 4 + yc² .;. -4xc + 4 = 0 .:. xc = 1 (iii)

iii em i: 1 + yc² = R²

Como a reta é tangente, a distância dela ao centro é igual ao raio:

|1*1 - 1*yc + 2|/(√(1² + (-1)²)) = R .:. |-yc + 3|/√2 = R .:.

|-yc + 3| = √2*R  --> Elevando-se ambos os lados ao quadrado, eliminamos o módulo:

(-yc+3)² = (√2*R)² .:. yc² - 6yc + 9 = 2R² .:. yc²-6yc+9 = 2*(1+yc²) .:.
yc² + 6yc - 7 = 0 --> yc = (-6 +- 8 )/2 .:. yc = 1 ou yc = -7

Logo, os centro são (1,1) e (1,-7).

Letra b:

R²= 1+yc² --> R² = 1 + 1 .:. R = √2
ou
R² = 1 + yc² .:. R² = 1+49 .:. R²= 50 .:. R = 5√2

Att.,
Pedro