Limite de 2 variáveis

por **mauk03** Ter 29 Abr 2014, 00:25

Calcule o limite, caso exista. Caso contrário, justifique sua resposta.
$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{xy^{2}}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}$

por Man Utd Ter 29 Abr 2014, 21:50

Olá

Vamos utilizar a regra dos caminhos :

para (x,0) :

$\\\\\ \lim_{x \to 0} \; \frac{x*0^2}{\sqrt{x^2-0^2}}=0$

para (0,y) :

$\\\\\ \lim_{y \to 0} \; \frac{0*y^2}{\sqrt{0^2-y^2}}=0$

agora para (sqrt(y^6+y^2),y) :

$\\\\\\\ \lim_{y \to 0} \; \frac{\sqrt{y^6+y^2}*y^2}{\sqrt{(\sqrt{y^6+y^2})^2-y^2}} \\\\\\\ \lim_{y \to 0} \; \frac{\sqrt{y^6+y^2}*y^2}{\sqrt{y^6+y^2-y^2}} \\\\\\ \lim_{y \to 0} \; \frac{\sqrt{y^6+y^2}*y^2}{|y^3|} \\\\\\ \lim_{y \to 0} \; \frac{\sqrt{y^6+y^2}}{|y|}$

$\\\\\\ \lim_{y \to 0} \; \frac{|y|\sqrt{y^4+1}}{|y|}=1$

então o limite proposto não existe.

por **mauk03** Ter 29 Abr 2014, 22:18

Man Utd, não consegui encontrar erros na sua solução mas segundo o wolframalpha o limite existe e é igual à 0:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+xy%C2%B2%2Fsqrt%28x%C2%B2-y%C2%B2%29+as+%28x%2Cy%29-%3E%280%2C0%29

Mas não consigo mostrar isso pela definição.

por Man Utd Ter 29 Abr 2014, 22:29

Olá

Não confie no wolfram para cálculo de limites de duas variaveis e alguns de limites de uma variável, ele simplesmente erra.

Veja um exemplo de limite de uma variável que não existe, mas o wolfram aponta que existe : Exemplo1 , e o motivo é que ele considerou o conjunto dos números complexos.

Um exemplo de limite de duas variaveis que ele erra : Exemplo 2 .

por **mauk03** Qua 30 Abr 2014, 11:04

Vlw Man Utd, tinha uns limites que já tavam me deixando maluco por não bater com a resposta do wolfram.

Só uma ultima duvida, caso o wolfram considera o conjunto dos números complexos, por que no link que lhe mandei ele fala que o resultado do limite é zero assumindo que as variáveis são valores reais (assuming variables are real-value)?

por **mauk03** Qua 30 Abr 2014, 11:09

E tem como vc me confirmar se esse limite realmente existe ou é mais um erro do wolfram:
$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{3}y^{2}}{x^{6}+y^{4}}$

por Man Utd Qua 30 Abr 2014, 11:12

Só uma ultima duvida, caso o wolfram considera o conjunto dos números complexos, por que no link que lhe mandei ele fala que o resultado do limite é zero assumindo que as variáveis são valores reais (assuming variables are real-value)?

eu falei que ele considera o conjunto dos números complexos no exemplo que postei sobre um limite de uma função de uma variável. Já os de duas variáveis não sei por que motivo ele erra.

por Man Utd Qua 30 Abr 2014, 11:32

Olá

Veja que para (x,0) :

$\\\\\\ \lim_{ x \to 0} \; \frac{x^3*0^2}{x^6+0^4}=0$

agora para : (y^(2/3),y) :

$\\\\\\ \lim_{ y \to 0} \; \frac{(y^{\frac{2}{3}})^3*y^2}{(y^{\frac{2}{3}})^6+y^4} \\\\\\ \lim_{ y \to 0} \; \frac{y^{2}*y^2}{y^4+y^4} \\\\\\ \lim_{ y \to 0} \; \frac{y^{4}}{y^4+y^4} =\frac{1}{2}$

então o limite não existe, veja este tópico semelhante e a mesma dúvida : Topico