Limite de duas variaveis

por marioh Sex 12 Set 2014, 14:39

Não estou conseguindo demonstrar pela definição formal que o limite de (x^2.y.e^y)/(x^4 + 4.y^2) quando x e y tendem a 0 é igual a 0...
Obrigado!

por Man Utd Sex 12 Set 2014, 20:59

marioh escreveu:Não estou conseguindo demonstrar pela definição formal que o limite de (x^2.y.e^y)/(x^4 + 4.y^2) quando x e y tendem a 0 é igual a 0...
Obrigado!

Vc não consegue provar, porque esse limite não é zero, ele sequer existe.

Para provar isso utilize a regra dos caminhos:

Use o caminho (x,0) :

$\\\\\\ \lim_{ x \to 0} \; \frac{x^2*0*e^{y}}{x^4+4*0^2}=0$

Agora por (x,x²):

$\\\\\\ \lim_{ x \to 0} \; \frac{x^4e^{x^2}}{x^4+4x^4} \\\\\\ \lim_{ x \to 0} \; \frac{x^4e^{x^2}}{5x^4}=\frac{1}{5}$

Como obtivemos valores diferentes, então o limite não existe.

por marioh Dom 14 Set 2014, 14:33

Obrigado! Acho que fiz a conta muito depressa e acabei errando. Mas me surgiu uma duvida, é possível testar uns 4 caminhos diferentes com mesmo resultado e este não ser o limite? Como é possível verificar isto pela definição formal? Sempre tive dificuldade com as definições formais de limite pois meu professor disse (e não achei nada em livros) que para se provar que o limite não está correto você simplesmente não consegue fatorar a função de modo a encontrar uma função com a tendência do limite...

por Man Utd Dom 14 Set 2014, 16:35

marioh escreveu:Obrigado! Acho que fiz a conta muito depressa e acabei errando. Mas me surgiu uma duvida, é possível testar uns 4 caminhos diferentes com mesmo resultado e este não ser o limite? Como é possível verificar isto pela definição formal? Sempre tive dificuldade com as definições formais de limite pois meu professor disse (e não achei nada em livros) que para se provar que o limite não está correto você simplesmente não consegue fatorar a função de modo a encontrar uma função com a tendência do limite...

Vc pode testar um milhão de caminhos diferentes com o msm valor, mas ainda sim vc não pode ter a certeza que o limite existe, pois a regra dos caminhos só serve para provar que o limite não existe.Quando tenho que resolver um limite de uma função de duas variaveis primeiro vejo se existe alguma fatoração ou então se pode aplicar o teorema da função limitada, caso não ocorra nenhum desses dois parto para a definição formal, se este último não der certo, então tento provar que o limite não existe pela regra dos caminhos.

Exemplos de definição formal:

https://pir2.forumeiros.com/t17734-encontre-o-valor-limite

https://pir2.forumeiros.com/t66755-limite-de-funcao-de-duas-variaveis

https://pir2.forumeiros.com/t4889-limite-de-duas-variaveis

por marioh Seg 15 Set 2014, 20:24

"...parto para a definição formal, se este último não der certo, então tento provar que o limite não existe pela regra dos caminhos."

Minha é dúvida é saber quando a definição formal não da certo... você poderia me mostrar como chego a esta conclusão?

por Man Utd Ter 16 Set 2014, 00:54

marioh escreveu:"...parto para a definição formal, se este último não der certo, então tento provar que o limite não existe pela regra dos caminhos."

Minha é dúvida é saber quando a definição formal não da certo... você poderia me mostrar como chego a esta conclusão?

Não dá pra perceber ao certo quando a definição formal não funciona.Suponha que vc já está bem acostumando com definição formal e não percebe nenhuma forma de chegar numa relação entre delta e epsilon, aí vc tenta provar que o limite não existe pela regra dos caminhos.

PS: definição formal só serve pra mostrar a existência de limite e não a inexistência, para mostrar que não existe usamos a regra dos caminhos.