Limite de Duas Variáveis

por Man Utd Ter 22 Abr 2014, 10:12

$\\\\\\ 0<\sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2}< \delta \;\;\; \Leftrigharrow \;\;\; |x^2-2y^2+7|<\epsilon$

logo :

$\;\;\; \Leftrigharrow \;\;\; |(x^2-1)+(-2(y^2-4))|\leq |x^2-1|+2|y^2-4|<\epsilon$

então :

$\\\\\\ \sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2}<\delta \;\;\; \Leftrigharrow \;\;\; |x^2-1|+2|y^2-4|<\epsilon$

$\\\\\\ \sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2}<\delta \;\;\; \Leftrigharrow \;\;\; |x-1||x+1|+2|y-2||y+2|<\epsilon$

se fizermos : $\\\\\\ |x-1|<\delta=1 \;\;\;\;\;\; \wedge \;\;\;\;\; |y+2|<\delta=1$ , então : $\\\\\\ 0<x<2 \;\;\;\;\;\; \wedge \;\;\;\;\; -3<y<-1$ ,esboçando o gráfico de $\\\\\\ |x+1| \;\;\;\; \wedge \;\;\; |y-2|$ nesses intervalos obtemos que : $\\\\\\ 1<|x+1|<3 \;\;\;\;\;\; \wedge \;\;\;\;\; 3<|y-2|<5$ , então ficamos com :

$\\\\\\ \;\;\; |x-1||x+1|+2|y-2||y+2|<3|x-1|+10|y+2|<\epsilon$

denovo:

$\\\\\\ 3|x-1|+10|y+2|<3\sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2}+10\sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2}<\epsilon \\\\\\ 13\sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2}<\epsilon \\\\\\ \sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2}<\frac{\epsilon}{13}$

perceba que agora podemos tomar : $\\\\\\ \delta=\frac{\epsilon}{13}$ , como temos dois valores para delta, o melhor a ser utilizado é o menor , então uma notação para isto é : $\\\\\\ \delta \min=\left[ 1, \frac{\epsilon}{13} \right ]$ .

Mostrando que funciona :

$\\\\\\ |x-1||x+1|+2|y-2||y+2|<13\sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2}=13\delta=13\left(\frac{\epsilon}{13} \right )=\epsilon$

por **aryleudo** Qua 23 Abr 2014, 07:41

Obrigado!

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