Limite de Duas Variáveis

por Dela Corte Sáb 03 Dez 2016, 20:41

Considere a função $Limite de Duas Variáveis Gif$ tal que:

$Limite de Duas Variáveis Gif.latex?f%28x%2Cy%29%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Cdfrac%7Bxy%7D%7B%7Cx%7C+%7Cy%7C%7D%2C%20%5C%3B%20%28x%2Cy%29%20%5Cneq%20%280%2C0%29%5C%5C%20%5C%5C%200%2C%20%28x%2Cy%29%20%3D%20%280%2C0%29%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright$

a) Existe $Limite de Duas Variáveis Gif$ ? Se sim, quanto vale?

b) Determine se a função é contínua em $Limite de Duas Variáveis Gif$ .

por **mauk03** Qua 07 Dez 2016, 15:01

a) Mudando para coordenadas polares:
$(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$

Obtém-se:
$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{xy}{|x|+|y|}=\lim_{r\rightarrow 0}\frac{r\cos \theta r\sin \theta }{|r\cos \theta |+|r\sin \theta |}$ $=\lim_{r\rightarrow 0}r\frac{\cos \theta \sin \theta }{|\cos \theta |+|\sin \theta |}=0$ $\forall \theta \in \mathbb{R}$

Como o resultado não depende de $\theta$ conclui-se que o limite existe e é igual a 0.

b) Como o limite de f(x,y) existe em (0,0) e f(0,0) é igual a esse limite então f(x,y) é continua nesse ponto.

por Dela Corte Qua 07 Dez 2016, 15:34

EDIT: utilizando somente as coordenadas regulares xOy:

Veja que
$Limite de Duas Variáveis Gif$

Mas
$Limite de Duas Variáveis Gif$

Como
$Limite de Duas Variáveis Gif$
$Limite de Duas Variáveis Gif$

Então, pelo Teorema do Confronto:
$Limite de Duas Variáveis Gif$

E como
$Limite de Duas Variáveis Gif$

Concluímos que
$Limite de Duas Variáveis Gif$

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