encontre o valor limite

por Márcio Valente 23/9/2011, 9:30 am

2.cada limite indicado existe, sendo assim,
encontre o valor limite L e encontre o valor limite Png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAA0AAAAQCAIAAABCwWJuAAAAM0lEQVQokWP4TxxgGHB1LKiAgDpkDQTUEXYfLktJdx+yND73oclRVR1R4UI4nPEDYtUBAOAj42FyGZZjAAAAAElFTkSuQmCC

encontre o valor limite Png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAA0AAAAQCAIAAABCwWJuAAAAM0lEQVQokWP4TxxgGHB1LKiAgDpkDQTUEXYfLktJdx+yND73oclRVR1R4UI4nPEDYtUBAOAj42FyGZZjAAAAAElFTkSuQmCC

(para qualquer encontre o valor limite IRCRAAAAAElFTkSuQmCC

) da definição de limite: encontre o valor limite BRJzobXx3ZZCAEQQfZRX9UqdYqM7mkUESGilwqwWS0cqeEYFkOf0BXHDMYnYxgVYAAAAASUVORK5CYII=

Gabarito=

encontre o valor limite AAAAAElFTkSuQmCC

por Man Utd 11/7/2014, 11:39 am

$\\\\\\ \lim_{ (x,y) \; \to (0,0)} \; (x-y)\sin \left(\frac{x}{y} \right )$

Utilizando o teorema da função limitada :

$\\\\\\ \lim_{ (x,y) \; \to (0,0)} \; \overbrace{(x-y)}^{limite \; 0} \underbrace{\sin \left(\frac{x}{y} \right ) }_{funcao \; limitada}$

logo pelo teorema da função limitada : $\\\\\\ \lim_{ (x,y) \; \to (0,0)} \; (x-y) \sin \left(\frac{x}{y} \right )=0$

Usando a definição : $\\\\\\ 0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}< \delta \;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\; \left|f(x,y)-L|<\epsilon$ , ficamos com :

$\\\\\\ \sqrt{x^2+y^2}< \delta \;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\; \left| (x-y) \sin \left( \frac{y}{x} \right )\right|<\epsilon$

fazendo algumas manipulações :

$\\\\\\ \left| x \sin \left( \frac{y}{x} \right)+ \left( -y\sin \left( \frac{y}{x} \right) \right ) \right|<\epsilon \\\\\\ \left| x \sin \left( \frac{y}{x} \right)+ \left( -y\sin \left( \frac{y}{x} \right) \right ) \right| \leq \left|x \sin \left( \frac{y}{x} \right) \right|+\left| y\sin \left( \frac{y}{x} \right) \right|<\epsilon \\\\\\ \left|x \sin \left( \frac{y}{x} \right) \right|+\left| y\sin \left( \frac{y}{x} \right) \right|<\epsilon$

como : $\\\\\\ 0 \leq \left|\sin \left( \frac{y}{x} \right) \right| \leq 1$ , obtemos que :

$\\\\\\ \left|x \sin \left( \frac{y}{x} \right) \right|+\left| y\sin \left( \frac{y}{x} \right) \right| \leq |x|+|y|<\epsilon \\\\\\ |x|+|y|\leq \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}<\epsilon \\\\\\ 2\sqrt{x^2+y^2}<\epsilon \\\\\\ \sqrt{x^2+y^2}<\frac{\epsilon}{2}$

como $\\\\\\ \sqrt{x^2+y^2}<\delta$ podemos tomar : $\\\\\\ \delta=\frac{\epsilon}{2}$

Agora temos que provar que essa escolha de delta realmente funciona :

$\\\\\\ \left|x \sin \left( \frac{y}{x} \right) \right|+\left| y\sin \left( \frac{y}{x} \right)|< |x|+|y|\leq 2\sqrt{x^2+y^2}<2\delta=2\left(\frac{\epsilon}{2} \right )=\epsilon\\\\\\$

logo fica provado que essa escolha realmente funciona.

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