Números complexos na forma trigonométrica

por Thiele Dom 09 Mar 2014, 19:19

(AFA-00) Considere o polinômio P(z)= z² -2z + iw, w ∈ C. Se P(3+2i)=1+10i, onde i²=-1, então uma forma trigonométrica de w é:
a)2V2(cos ∏/4 +isen ∏/4)
b)2V2(cos3 ∏/4 +isen ∏/4)
c)2V2(cos5 ∏/4 +isen 5 ∏/4)
d)2V2(cos7 ∏/4 +isen7 ∏/4)

por **Elcioschin** Dom 09 Mar 2014, 19:38

w = a + bi

P(z)= z² -2z + iw ---> P(z) = z² - 2z + i.(a + bi) ---> P(z) = z² - 2z + ai - b

P(3 + 2i) = (3 + 2i)² - 2.(3 + 2i) + ai - b ---> P(3 + 2i) = 9 + 12i - 4 - 6 - 4i + ai - b

P(3 + 2i) = - b - 1 + (a + 8 ).i = 1 + 10i

a + 8 = 10 ---> a = 2

- b - 1 = 1 ----> b = - 2

w = 2 - 2i ---> |w|² = 2² + (-2)² ----> |w| = 2.√2

w = 2.√2.[(√2/2) - i.(√2/2)] ---> w = 2.√2.[cos(7pi/4) + i.sen(7pi/4)]

por Thiele Dom 09 Mar 2014, 21:15

Só não entendi o porque é 7 ∏/4

por Matheus Fillipe Dom 09 Mar 2014, 21:49

Imagine o ciclo trigonométrico, se w=2(1-i), e queremos escrever na forma: w=|w| (cos(x)+isen(x)) , e perceba o sinal de + antes de i. Precisamos de um x onde sen(x)=-1 e cos(x)=1. Você certamente sabe que: sen(pi/4)=cos(pi/4)=1, então em que quadrante o seno é negativo e o cosseno é positivo ? 4º quadrante. Assim :

x=2pi-pi/4= (8-1)pi /4=7 pi/4

Blz?

por Thiele Dom 09 Mar 2014, 21:55

Entendido, obrigada Very Happy

por **parofi** Qui 22 maio 2014, 18:03

Olá:
Uma observação à resposta do Matheus:
cos(pi/4)=sen(pi/4)=(√2)/2.
A tangente é que tem aí o valor 1 (tg(pi/4)=1).
Um processo fácil para determinar um argumento θ do complexo a+bi é calcular tgθ=b/a.
Sabendo os valores da tangente no 1º quadrante (tg(pi/6)=(√ 3)/3; tg(pi/4)=1;tg(pi/3)=√ 3, vemos qual é o ângulo β em que a tangente tem o valor absoluto de b/a.
Se a>0 e b>0, está no 1º quadrante e o argumento será β ; Se a<0 e b>0 está no 2º quadrante e o argumento será pi-β ; se a<0 e b<0, está no 3º quadrante e será pi+β ;se a>0 e b<0 está no 4º quadrante e será 2pi-β (ou -β ).
Espero que tenha entendido.
Um abraço