Demonstração - Soma de Inversos

por Dela Corte Sáb 01 Mar 2014, 21:33

Demonstre que para:

$Demonstração - Soma de Inversos Gif$

por **Robson Jr.** Dom 02 Mar 2014, 01:56

Comecemos trabalhando um pouco a expressão dada:

$\small \\ x+y=\frac{xy}{z} \therefore \ x=\frac{yz}{y-z}=\frac{z(y-z)+z^2}{y-z} \therefore \ x=z+\frac{z^2}{y-z} \text{ (Eq. 1)}$

Sendo x inteiro, necessariamente temos:

$\small \\ z^2=k(y-z) \therefore \ y=\frac{z^2}{k}+z; \ k\in \mathbb{Z} \ | \ 1\leq |k| \leq z^2 \text{ (Eq. 2)}$

Podemos reescrever x substituindo (Eq. 2) em (Eq. 1):

$\small \\ x=z+\frac{z^2}{\frac{z^2}{k}+z-z} \therefore \ x=z+k \text{ (Eq. 3)}$

Fazendo (Eq. 2) + (Eq. 3):

$\small \\ x+y=\left ( \frac{z^2}{k}+k \right )+2z \text{ (Eq. 4)}$

Fixado um z, para maximizarmos (x + y) devemos encontrar um k que maximize o termo entre parênteses na (Eq. 4). Observe que o valor procurado de k necessariamente deve ser positivo, pois, se tomarmos k negativo, a expressão será menor que para um k positivo qualquer.

Uma saída é estudar o intervalo de valores de k para os quais a expressão entre parênteses é crescente. Em particular, como estamos tratando de números inteiros, podemos analisar crescimento comparando números consecutivos:

$\small \\ \frac{z^2}{k}+k \leq \frac{z^2}{k+1}+k+1 \Leftrightarrow \frac{z^2}{k}-\frac{z^2}{k+1} \leq 1 \Leftrightarrow z^2 \leq k^2+k$

De (Eq 2.), para k > 0, temos que 1 ≤ k ≤ z². Veja que k = z² não só satisfaz a desigualdade acima, como também é o maior valor possível de k no intervalo em que a função é crescente. Segue, portanto, que, nas condições do problema, a função atinge seu máximo para k = z².

Finalmente:

$\small \\ (x+y)_{max}=\frac{z^2}{z^2}+z^2+2z \therefore \ \boxed{(x+y)_{max}=z^2+2z+1}$

o que conclui a demonstração.