dúvida sobre função do segundo grau

por leopinna Dom 19 Jan 2014, 15:17

Determine o valor de p real na função f(x)=(p²-1)x²+2(p-1)x+1 para que f(x) > 0,∀ x real

Eu procurei uma resolução dela e uma das condições era o delta<0 mas eu não entedi por que deve ser assim pois se o delta for negativo ele cai em raiz não reais.

por PedroCunha Dom 19 Jan 2014, 15:32

Para f(x) ser maior que zero para todo x real, devemos ter a > 0 e delta < 0, pois assim a parábola fica acima do eixo x. Temos então:

p² -1 > 0
p > 1 ou p < -1

e

[2*(p-1)]² - 4 * (p²-1) * 1 < 0
4*(p²-2p+1) - 4p² + 4 < 0
4p² - 8p + 4 - 4pi² + 4 < 0
-8p + 8 < 0
-8p < -8
p > 1

Logo: p e R / p > 1

É isso.

Att.,
Pedro

por **Elcioschin** Dom 19 Jan 2014, 15:40

∆ = [2.(p - 1)]² - 4.(p² - 1).1 ---> ∆ = - 8p + 8

Para a função ser sempre positiva, isto é, f(x) > 0, a função deve ser

1) do 2º grau ---> 2.(p - 1) ≠ 0 ----> p ≠ 1
2) Parábola com a concavidade voltada para cima ----> 2.(p - 1) > 0 ---> p > 1
3) Não possuir raízes reais, isto é, o gráfico de f(x) não pode tocar o eixo x ---> ∆ < 0 ---> - 8p + 8 < 0 ---> p > 1